三角圏のt-structureのheartは三角圏の拡大で閉じたアーベル完全部分圏である

1ならば2は明らか。

2ならば1を示す。アーベル圏の定義にどれを採用するか問題があるが、多分一番有名な「coimageからimageへの自然な射が同型」を使うことにする。まずpre-abelianなことは、$f$の核は$p$の核としてとれるのと双対からすぐに従う。

任意に射$f:X\to Y$を取ると、$f=ip$という2の分解が取れる。それぞれに対応するconflationを
$$0\to K\stackrel{\iota }{\to }X\stackrel{p}{\to }W\to 0$$
$$0\to W\stackrel{i}{\to }Y\stackrel{\pi }{\to }C\to 0$$
とすると、$i$が単射なので$f$の核は$\iota$であり、同様に$f$の余核は$\pi$である。よって$p$がcoimageへの自然な写像、$i$がimageへの自然な写像になるが、その間の写像はいま恒等写像になっているので同型である。

よって$\mathcal{E}$はアーベル圏である。次に通常の意味での短完全列がconflationかどうかを考える。通常の意味での短完全列をとる：
$$0\to X\stackrel{f}{\to }Y\stackrel{g}{\to }Z\to 0$$
このとき仮定により$f=ip$なる分解が取れるが、$f$がモノ射なので$p$がモノ射となり、かつ$p$はdeflationなので余核射である。ここで「余核射かつモノ射は同型」が簡単に分かるので、$p$は同型である。よって上の短完全列は、$i$に関するconflationと同型になるが、conflationは同型で閉じるので上もconflationである。

この補題は次の論文のProposition 2.5で見つけた、たぶんfolkloreです。
P. Jorgensen, Abelian subcategories of triangulated categories induced by simple minded systems, arXiv:2010.11799
これはDyerのプレプリントの主結果でもあるようです：
M. Dyer, Exact subcategories of triangulated categories.

まず$\mathcal{E}$が条件、つまり$\mathcal{E}\perp \mathcal{E}[-1]$を満たすとし、このとき定義1のようにconflationを定め、また同様にinflationとdeflationを定める。このとき次が成り立つ：

$\mathcal{E}$のconflationは$\mathcal{E}$の中で核・余核対である。

このため、$\mathcal{E}$のconflation $X\to Y\to Z$をとると、定義によりこれは$\mathcal{T}$の三角
$$X\to Y\to Z\to X[1]$$
の一部である。これを左に回して$E\in \mathcal{E}$について$\mathcal{T}(E,-)$を伸ばすと、
$$0=\mathcal{T}(E,Z[-1])\to \mathcal{T}(E,X)\to \mathcal{T}(E,Y)$$
が完全で$\mathcal{E}\perp \mathcal{E}[-1]$により一番左がゼロ。よって、取ったconflationはkernel sequenceになっている。余核についても同様なので省略。

これが示されると、次の補題により主張が成り立つ。

完全部分圏なら、明らかに完全圏の定義により後半が成り立つ。逆に後半が成り立つとすると、ごちゃごちゃ三角圏の八面体などを使えば完全圏の公理を満たすことが示される。詳しくは上のJorgensenの論文のProposition 2.5を参照のこと。

分かりやすくするため、${\mathcal{T}}^{\le n}:=\mathcal{U}[-n]$と${\mathcal{T}}^{\ge m}:=\mathcal{V}[-m]$と、${\mathcal{T}}^{[m,n]}:={\mathcal{T}}^{\le n}\cap {\mathcal{T}}^{\ge m}$とする記法を用いる。

まず$\mathcal{H}\perp \mathcal{H}[-1]$を示す。これは$\mathcal{H}\subseteq {\mathcal{T}}^{\le 0}$と$\mathcal{H}[-1]={\mathcal{T}}^{[1,1]}\subseteq {\mathcal{T}}^{\ge 1}$なことと、$t$-structureの公理により${\mathcal{T}}^{\le 0}\perp {\mathcal{T}}^{\ge 1}$が成り立つことから従う。

また$\mathcal{H}$は明らかに拡大で閉じるので、補題3（完全部分圏の判定）により、$\mathcal{H}$は$\mathcal{T}$の拡大で閉じた完全部分圏となる。よって特に完全圏の構造が入る。

最後に（ここが一番非自明ですが）、この完全圏構造がアーベル完全圏であることを示す。命題1（アーベル完全圏）により、任意の射をdeflationとinflationに分解すればよい。

任意に射$X\to Y$を取る。このときmapping cocone $K\to X$をとって三角$K\to X\to Y\to K[1]$にする。このとき$\mathcal{T}={\mathcal{T}}^{\le 0}\ast {\mathcal{T}}^{\ge 1}$により、三角$K^{\le 0}\to K\to K^{\ge 1}\to K^{\le 0}[1]$がとれる（どこに属するかは察して）。よって八面体公理により、次の可換図式ができる。
$$\begin{array}{ccc}{K}^{\le 0}& =& K^{\le 0}\\ \downarrow & & \downarrow & \\ K& \stackrel{}{\to }& X& \stackrel{}{\to }& Y& \stackrel{}{\to }& K[1]\\ \downarrow & & \downarrow & & \parallel & & \downarrow & \\ K^{\ge 1}& \stackrel{}{\to }& W& \stackrel{}{\to }& Y& \stackrel{}{\to }& K^{\ge 1}[1]\\ \downarrow & & \downarrow & \\ K^{\le 0}[1]& =& K^{\le 0}[1]\end{array}$$
ネタバレを言うと、ここで取れた真ん中の可換図式による$X\to Y$の分解$X\to W\to Y$が求める分解である。このためいろいろ示すことがあるが、基本的に何以上何以下かを冷静に追っかければわかる。以下フランクな言葉を使うが察してください

$K$はゼロ以上$1$以下

いま三角$Y[-1]\to K\to X$があり、$Y[-1]$は$1$以上$1$以下で$X$はゼロ以上ゼロ以下なので、その拡大$K$もゼロ以上$1$以下である。

$K^{\le 0}$は$\mathcal{H}$に入る

$K^{\le 0}$はゼロ以下なのでゼロ以上ならよい。いま三角$K^{\ge 1}[-1]\to K^{\le 0}\to K$があり、上より$K$はゼロ以上、また$K^{\ge 1}[-1]$は$2$以上により、その拡大である$K^{\le 0}$もゼロ以上である。

$K^{\ge 1}[1]$は$\mathcal{H}$に入る

$K^{\ge 1}$が$1$以下ならよい。いま三角$K\to K^{\ge 1}\to K^{\le 0}[1]$があり、$K$は$1$以下で、$K^{\le 0}[1]$は$-1$以下より、その拡大である$K^{\ge 1}$も$1$以下である。

$W$は$\mathcal{H}$に入る

いま三角$X\to W\to K^{\le 0}[1]$があり、$X$はゼロ以下で$K^{\le 0}[1]$は$-1$以下なので、$W$もゼロ以下である。次に三角$K^{\ge 1}\to W\to Y$があり、$K^{\ge 1}$は$1$以上、$Y$はゼロ以上なので$W$もゼロ以上である。

以上のことより初め3つの項が$\mathcal{H}$に入る三角が二つできたので、$\mathcal{H}$でのconflationが二つとれた：
$$0\to K^{\le 0}\to X\to W\to 0,$$
$$0\to W\to Y\to K^{\ge 1}[1]\to 0,$$
この2つのconflationと、上の図式の可換性により、$X\to W\to Y$が求める射$X\to Y$のdeflationとinflationによる分解である。