Weierstrassの$\wp$函数ショートコース（２）

$\wp$函数の加法定理

$\wp^{\prime}(z)$は$z\equiv 0$に$3$位の極を持つから、同じ数の零点が$\Delta$内部に存在する。まず奇函数だから$\wp^{\prime}(z+2\omega_{1})=\wp^{\prime}(z)$に$z=-\omega_{1}$を代入して$\wp^{\prime}(\omega_{1})=0$を得る。同様に$\wp^{\prime}(\omega_{2})=\wp^{\prime}(\omega_{1}+\omega_{2})=0$である。つまり$\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{1}+\omega_{2}$が$\wp^{\prime}(z)$の零点を与える。以下この点での$\wp(z)$の値を

$$ \begin{aligned} e_{1}&=\wp(\omega_{1}), & e_{2}&=\wp(\omega_{2}), & e_{3}&=\wp(\omega_{1}+\omega_{2}) \end{aligned} $$

とする。

命題 以下が成り立つ。

• $e_{1}, e_{2}, e_{3}$は互いに異なる。
• $4y^{3}-g_{2}y-g_{3}=4(y-e_{1})(y-e_{2})(y-e_{3})$が成り立つ。

（証明）互いに異なることは$f(z):=\wp(z)-e_{r}$を考えればよい。実際$f^{\prime}(z)=\wp^{\prime}(z)$より$f(\omega_{r})=f^{\prime}(\omega_{r})=0$だから、$\omega_{r}$は$f$の少なくとも$2$位の零点となる。しかし$f$の位数は$2$だからこれ以上の零点はなく、即ち$e_{1}$は$e_{2}, e_{3}$と異なることが分かる。他も同様である。

$\wp^{\prime}(z)^{2}=4\wp(z)^{3}-g_{2}\wp(z)-g_{3}$に$z=\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{1}+\omega_{2}$を代入すると$4e_{r}^{3}-g_{2}e_{r}-g_{3}=0$を得る。これらが互いに異なる所与の多項式の根であることが分かるので、最高次係数を合わせると命題の式が成り立つ。$\square$

更に解と係数の関係より

$$ \begin{aligned} e_{1}+e_{2}+e_{3}&=0, & e_{1}e_{2}+e_{2}e_{3}+e_{3}e_{1}&=-\frac{g_{2}}{4}, & e_{1}e_{2}e_{3}&=\frac{g_{3}}{4} \end{aligned} $$

を得る。また$(e_{1}+e_{2}+e_{3})^{2}, (e_{1}+e_{2}+e_{3})^{3}, (e_{1}-e_{2})(e_{2}-e_{3})(e_{3}-e_{1})$等を計算すると

$$ \begin{aligned} g_{2}&=2(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}), & g_{3}&=\frac{4}{3}(e_{1}^{3}+e_{2}^{3}+e_{3}^{3}), & g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}&=16(e_{1}-e_{2})^{2}(e_{2}-e_{3})^{2}(e_{3}-e_{1})^{2} \end{aligned} $$

を得る。

定理 $u+v+w\equiv 0$に対し

$$ \left\vert \begin{matrix} \wp(u) & \wp^{\prime}(u) & 1 \\ \wp(v) & \wp^{\prime}(v) & 1 \\ \wp(w) & \wp^{\prime}(w) & 1 \end{matrix} \right\vert = 0 $$

が成り立つ。

（証明）$\wp(u), \wp(v), \wp(w)$は互いに異なるとしてよい。連立方程式

$$ \begin{aligned} a\wp(u)+b &= \wp^{\prime}(u), \\ a\wp(v)+b &= \wp^{\prime}(v) \end{aligned} $$

の根$a, b$を取り、$f(z):=a\wp(z)+b-\wp^{\prime}(z)$とする。$f$は原点に$3$位の極を持つ位数$3$の楕円函数である。よって$u, v$それと$w^{\prime}$という零点が存在する。楕円函数の性質より零点と極の和は$\mod\Omega$で一致する。よって$u+v+w^{\prime}\equiv 0+0+0$だから$w\equiv w^{\prime}$となる。つまり$w$もまた$f$の零点である。$a, b$を消去すれば定理の式を得る。$\square$

系 （加法定理、倍各公式）一般の$u, v$に対して

$$ \wp(u+v)=\frac{1}{4}\left\lbrace \frac{\wp^{\prime}(u)-\wp^{\prime}(v)}{\wp(u)-\wp(v)} \right\rbrace^{2}-\wp(u)-\wp(v) $$

が成り立つ。特に$v\rightarrow u$とすれば

$$ \wp(2u)=\frac{1}{4}\left\lbrace \frac{\wp^{(2)}(u)}{\wp^{\prime}(u)} \right\rbrace^{2}-2\wp(u) $$

が成り立つ。

（証明）$u+v+w\equiv 0$とする。定理の証明の$a, b$について

$$ \begin{aligned} g(z)&=(a\wp(z)+b)^{2}-\wp^{\prime}(z)^{2} \\ &=-4\wp(z)^{3}+a^{2}\wp(z)^{2}+(2ab+g_{2})\wp(z)+b^{2}+g_{3} \end{aligned} $$

とおくと、$g(u)=g(v)=g(w)=0$より$\wp(u), \wp(v), \wp(w)$は

$$ -4t^{3}+a^{2}t^{2}+(2ab+g_{2})t+b^{2}g_{3}=0 $$

の解である。解と係数の関係より

$$ \wp(u)+\wp(v)+\wp(w)=\frac{a^{2}}{4}=\frac{1}{4}\left\lbrace \frac{\wp^{\prime}(u)-\wp^{\prime}(v)}{\wp(u)-\wp(v)} \right\rbrace^{2} $$

だが、$\wp(w)=\wp(-u-v)=\wp(u+v)$より求める式を得る。$\square$

逆関数$\wp^{-1}$について

定義 函数$w(z)$に対し、

$$ \lbrace w; z \rbrace := \left\lbrace \frac{w^{(2)}}{w^{\prime}} \right\rbrace^{\prime}-\frac{1}{2}\left\lbrace \frac{w^{(2)}}{w^{\prime}} \right\rbrace^{2}=\frac{w^{(3)}}{w^{\prime}}-\frac{3}{2}\left( \frac{w^{(2)}}{w^{\prime}} \right)^{2} $$

を Schwarz微分 という。

次の命題は計算すれば示せる。

命題 以下が成り立つ。

• $ad-bc\neq 0$なら$\lbrace w; z \rbrace=\lbrace (aw+b)/(cw+d); z \rbrace$が成り立つ。
• $\lbrace w; z \rbrace=0$は、$w=(az+b)/(cw+d)$と表せることと同値である。
• $\lbrace w; z \rbrace+(w^{\prime})^{2}\lbrace z; w \rbrace=0$が成り立つ。

補題 二階の微分方程式

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}v}{\mathrm{d}z^{2}}+\frac{1}{2}Q(z)v=0 $$

の解を$a, b$とする。$w=b/a$とすると$\lbrace w; z \rbrace=Q(z)$が成り立つ。

（証明）$aw=b$を逐次微分すると

$$ \begin{aligned} aw &= b, \\ a^{\prime}w+aw^{\prime} &= b^{\prime}, \\ a^{(2)}w+2a^{\prime}w^{\prime}+aw^{(2)} &= b^{(2)}, \\ a^{(3)}w+3a^{(2)}w^{\prime}+3a^{\prime}w^{(2)}+aw^{(3)} &= b^{(3)} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} \frac{w^{(3)}}{w^{(2)}}=\frac{aw^{(3)}}{aw^{(2)}} &= \frac{b^{(3)}}{aw^{(2)}}-3\frac{a^{\prime}}{a}-3\frac{a^{(2)}}{a}\frac{w^{\prime}}{w^{(2)}}-\frac{a^{(3)}}{a}\frac{w}{w^{(2)}}, \\ \frac{w^{(2)}}{w^{\prime}}=\frac{aw^{(2)}}{aw^{\prime}} &= \frac{b^{(2)}}{aw^{\prime}}-2\frac{a^{\prime}}{a}-\frac{a^{(2)}}{a}\frac{w}{w^{\prime}} \end{aligned} $$

となるから、

$$ \begin{aligned} \frac{w^{(3)}}{w^{(2)}}-\frac{3}{2}\frac{w^{(2)}}{w^{\prime}}=\frac{b^{(3)}}{aw^{(2)}}-\frac{3}{2}\frac{b^{(2)}}{aw^{\prime}}-3\frac{a^{(2)}}{a}\frac{w^{\prime}}{w^{(2)}}+\frac{3}{2}\frac{a^{(2)}}{a}\frac{w}{w^{\prime}}-\frac{a^{(3)}}{a}\frac{w}{w^{(2)}} \end{aligned} $$

を得る。故に

$$ \begin{aligned} \frac{w^{(3)}}{w^{\prime}}-\frac{3}{2}\left( \frac{w^{(2)}}{w^{\prime}} \right)^{2} &= \frac{w^{(2)}}{w^{\prime}}\left( \frac{w^{(3)}}{w^{(2)}}-\frac{3}{2}\frac{w^{(2)}}{w^{\prime}} \right) \\ &= \frac{b^{(3)}}{aw^{\prime}}-\frac{3}{2}\frac{b^{(2)}w^{(2)}}{a(w^{\prime})^{2}}-3\frac{a^{(2)}}{a}+\frac{3}{2}\frac{a^{(2)}}{a}\frac{ww^{(2)}}{(w^{\prime})^{2}}-\frac{a^{(3)}}{a}\frac{w}{w^{\prime}}　\\ &=\frac{1}{aw^{\prime}}(b^{(3)}-a^{(3)}w)-\frac{3w^{(2)}}{2a(w^{\prime})^{2}}(b^{(2)}-a^{(2)}w)-3\frac{a^{(2)}}{a} \end{aligned} $$

だが、$a, b$は微分方程式の解なので

$$ \begin{aligned} \frac{a^{(2)}}{a} &= -\frac{1}{2}Q, \\ b^{(2)}-a^{(2)}w &= -\frac{1}{2}Q(b-aw)=0, \\ b^{(3)}-a^{(3)}w &= -\frac{1}{2}Q^{\prime}(b-aw)-\frac{1}{2}Q(b^{\prime}-aw^{\prime})=-\frac{1}{2}Qaw^{\prime} \end{aligned} $$

が成り立つ。これを代入すると

$$ \lbrace w; z \rbrace=\frac{w^{(3)}}{w^{\prime}}-\frac{3}{2}\left( \frac{w^{(2)}}{w^{\prime}} \right)^{2} = Q $$

を得る。$\square$

今$y=\wp(z)$は

$$ (y^{\prime})^{2}=4(y-e_{1})(y-e_{2})(y-e_{3}) $$

を満たしていた。微分して上の式で両辺をそれぞれ割ると

$$ 2\frac{y^{(2)}}{y^{\prime}}=\sum_{r=1}^{3}\frac{y^{\prime}}{y-e_{r}} $$

となる。更に$2y^{\prime}$で割り、もう一度微分すると

$$ \frac{y^{(3)}(y^{\prime})^{2}-2(y^{(2)})^{2}y^{\prime}}{(y^{\prime})^{4}}=-\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{3}\frac{y^{\prime}}{(y-e_{r})^{2}} $$

より

$$ \frac{y^{(3)}}{(y^{\prime})^{3}}-\frac{2(y^{(2)})^{2}}{(y^{\prime})^{4}}=-\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{3}\frac{1}{(y-e_{r})^{2}} $$

を得る。

定理 $\mathbb{P}^{1}$上多価な函数$z=\wp^{-1}(y)$は、$2$階の微分方程式

$$ \frac{\mathrm{d}^{2}v}{\mathrm{d}y}+\left\lbrack \frac{1}{4}\sum_{r=1}^{3}\frac{1}{(y-e_{r})^{2}}-\frac{1}{16}\left( \sum_{r=1}^{3}\frac{1}{y-e_{r}} \right)^{2} \right\rbrack v=0 $$

の解$v_{1}, v_{2}$の比$v_{2}/v_{1}$と等しい。

（証明）補題より$\lbrace z; y \rbrace$を計算すればよい。

$$ \begin{aligned} \lbrace z; y \rbrace &=-\frac{1}{(y^{\prime})^{2}}\lbrace y; z \rbrace=-\frac{y^{(3)}}{(y^{\prime})^{3}}+\frac{3}{2}\frac{(y^{(2)})^{2}}{(y^{\prime})^{4}} \\ &=-\frac{1}{2}\frac{(y^{(2)})^{2}}{(y^{\prime})^{4}}+\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{3}\frac{1}{(y-e_{r})^{2}} \\ &=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{3}\frac{1}{(y-e_{r})^{2}}-\frac{1}{8}\left( \sum_{r=1}^{3}\frac{1}{y-e_{r}} \right)^{2} \end{aligned} $$

より示される。$\square$