調和数の$z$変換を求める。
調和数$H_n:=\sum_{1}^{n} \frac{1}{k}$の$z$変換
$$
\ZT{H_{n}}=\frac{-1}{1-z^{-1}} log\left(1-z^{-1}\right)\;\;(|z|>1)
$$
$z$変換は$n=0$から始めるため、$H_0$の値を求める。調和数の定義から$n$番目の調和数と$n-1$番目の調和数の関係
$$
H_n=H_{n-1}+\frac{1}{n}
$$を得る。
$$
H_1=H_0+\frac{1}{1}=H_0+1\\
\Longrightarrow\\
H_0=H_1-1=1-1=0
$$
よって
$$
\BEQ
\ZT{H_{n}}&=&H_0+\sum_{n=1}^{\infty} H_n \; z^{-n}\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}H_n \; z^{-n}\\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{n} \cfrac{1}{k} \;z^{-n}
\EEQ
$$この級数は$|z|>1$で一様収束するので$\sum$を交換できる。
また、単位階段関数$u(n)$を使ってあらわすと、単位階段関数は$n-k<0$のとき$u(n-k)=0$なので
$$
\BEQ
\ZT{H_{n}}&=&\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{n} \cfrac{u(n-k)}{k} \;z^{-n} \\
&=&\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{u(n-k)}{k} \;z^{-n} & \because n-k<0のときu(n-k)=0\\
&=&\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{u(n-k)}{k} \;z^{-n} & \because |z|>1のとき一様収束\\
&=&\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{1}{k} \sum_{n=0}^{\infty} u(n-k) \;z^{-n} \\
&=&\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{1}{k} \ZT{ u(n-k)} \\
&=&\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{z^{-k}}{k} \ZT{u(n)} & \because z変換のシフト則\\
&=&\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{z^{-k}}{k}\frac{1}{1-z^{-1}} & \because 単位階段関数のz変換\\
&=&\frac{-1}{1-z^{-1}}log(1-z^{-1}) &\because \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}=-log(1-x) \\
\EEQ
$$となり示された。収束領域は$|z|>1$。