z変換：調和数のz変換を求める

$z$変換は$n=0$から始めるため、$H_0$の値を求める。調和数の定義から$n$番目の調和数と$n-1$番目の調和数の関係
$$H_n=H_{n-1}+\frac{1}{n}$$を得る。
$$\begin{gathered} H_1=H_0+\frac{1}{1}=H_0+1 \\ ⟹ \\ {H}_0=H_1-1=1-1=0 \end{gathered}$$
よって
$$\begin{array}{rcl}\mathcal{Z}\left[H_n\right]& =& H_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{H}_n{z}^{-n}\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{H}_n{z}^{-n}\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}{z}^{-n}\end{array}$$この級数は$|z|>1$で一様収束するので$\sum$を交換できる。
また、単位階段関数$u(n)$を使ってあらわすと、単位階段関数は$n-k<0$のとき$u(n-k)=0$なので
$$\begin{array}{rcl}\mathcal{Z}\left[H_n\right]& =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^n\frac{u(n-k)}{k}{z}^{-n}\\ & =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{u(n-k)}{k}{z}^{-n}& \because n-k<0のときu(n-k)=0\\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{u(n-k)}{k}{z}^{-n}& \because |z|>1のとき一様収束\\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}u(n-k)z^{-n}\\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\mathcal{Z}[u(n-k)]\\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{-k}}{k}\mathcal{Z}[u(n)]& \because z変換のシフト則\\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^{-k}}{k}\frac{1}{1-z^{-1}}& \because 単位階段関数のz変換\\ & =& \frac{-1}{1-z^{-1}}log(1-z^{-1})& \because \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k}=-log(1-x) \end{array}$$となり示された。収束領域は$|z|>1$。