z変換：調和数のz変換を求める

$z$変換は$n=0$から始めるため、$H_0$の値を求める。調和数の定義から$n$番目の調和数と$n-1$番目の調和数の関係
$$ H_n=H_{n-1}+\frac{1}{n} $$を得る。
$$ H_1=H_0+\frac{1}{1}=H_0+1\\ \Longrightarrow\\ H_0=H_1-1=1-1=0 $$
よって
$$ \BEQ \ZT{H_{n}}&=&H_0+\sum_{n=1}^{\infty} H_n \; z^{-n}\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}H_n \; z^{-n}\\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{n} \cfrac{1}{k} \;z^{-n} \EEQ $$この級数は$|z|>1$で一様収束するので$\sum$を交換できる。
また、単位階段関数$u(n)$を使ってあらわすと、単位階段関数は$n-k<0$のとき$u(n-k)=0$なので
$$ \BEQ \ZT{H_{n}}&=&\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{n} \cfrac{u(n-k)}{k} \;z^{-n} \\ &=&\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{u(n-k)}{k} \;z^{-n} & \because n-k<0のときu(n-k)=0\\ &=&\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{u(n-k)}{k} \;z^{-n} & \because |z|>1のとき一様収束\\ &=&\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{1}{k} \sum_{n=0}^{\infty} u(n-k) \;z^{-n} \\ &=&\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{1}{k} \ZT{ u(n-k)} \\ &=&\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{z^{-k}}{k} \ZT{u(n)} & \because z変換のシフト則\\ &=&\sum_{k=1}^{\infty}\cfrac{z^{-k}}{k}\frac{1}{1-z^{-1}} & \because 単位階段関数のz変換\\ &=&\frac{-1}{1-z^{-1}}log(1-z^{-1}) &\because \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k}=-log(1-x)　\\ \EEQ $$となり示された。収束領域は$|z|>1$。