日韓朝の数学用語

こんにちは，キュウリ君と申します．
この記事では，国際数学オリンピックの問題文の比較を通して漢字文化圏である日本・韓国・北朝鮮の数学用語を比較したいと思います．（筆者は当然解けません）韓国と北朝鮮を分けている理由は，北朝鮮では言語の純化政策が進められており数学用語も例に漏れないためです．純化された言葉を見ることによって概念の理解が深まるかもしれません．なお，中国とベトナムも漢字文化圏に含まれますが，残念ながらこちらについては筆者の語学の知識が及ばないために今回は省かせていただきます．

今回は2008年度のスペイン・マドリード大会の問題文を比べていきます．問題一覧は このページ から見ることができます．
この記事では大韓民国向けの問題文に使われている言語を韓国語，朝鮮民主主義人民共和国向けの問題文に使われている言語を朝鮮語と呼ぶことにします．
韓国語・朝鮮語の問題文に含まれる漢字由来の語は，筆者の知識の及ぶ範囲で日本の漢字に置き換えて記すこととします．問題文は読み飛ばして構いません．

問題1

問題文

日本語

鋭角三角形$ABC$の垂心を$H$とし，中心が$BC$の中点であって$H$を通る円と直線$BC$との交点を$A_1,A_2$とする．　同様に，中心が$CA$の中点であって$H$を通る円と直線$CA$との交点を$B_1,B_2$とし，中心が$AB$の中点であって$H$を通る円と直線$AB$との交点を$C_1,C_2$とする．このとき，$A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$は同一円周上にあることを示せ．

韓国語

原文

鋭角三角形 $ABC$의 垂心을 $H$라고 하자. 点 $H$를 지나고 中心이 辺 $BC$의 中点인 円이 直線 $BC$와 두 点 $A_1,A_2$에서 만난다. 마찬가지로, 点 $H$를 지나고 中心이 辺 $CA$의 中点인 円이 直線 $CA$와 두 点 $B_1,B_2$에서 만나고, 点 $H$를 지나고 中心이 辺 $AB$의 中点인 円이 直線 $AB$와 두 点 $C_1,C_2$에서 만난다. 이때, 点 $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$가 모두 한 円 위에 있음을 보여라.

逐語訳

鋭角三角形$ABC$の垂心を$H$としよう．点$H$を過ぎ中心が辺$BC$の中点である円が直線$BC$と二つの点$A_1,A_2$で会う．同じように，点$H$を過ぎ中心が辺$CA$の中点である円が直線$CA$と二つの点$B_1,B_2$で会い，点$H$を過ぎ中心が辺$AB$の中点である円が直線$AB$と二つの点$C_1,C_2$で会う．このとき，点$A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$が全て一つの円の上にあることを見せよ．

朝鮮語

原文

뾰족 $ \triangle ABC$의 垂心을 $H$라고 하자. $BC$의 가운데 点을 中心으로 하고 $H$를 지나는 円둘레가 直線 $BC$와 $A_1,A_2$에서 사귄다. 마찬가지로 $CA$의 가운데 点을 中心으로 하고 $H$를 지나는 円둘레가 直線 $CA$와 $B_1,B_2$에서 사귀며 $AB$의 가운데 点을 中心으로 하고 $H$를 지나는 円둘레가 直線 $AB$와 $C_1,C_2$에서 사귄다. 이때 点 $A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$이 한 円둘레 우에 놓인다는 것을 証明하여라.

逐語訳

とがった$ \triangle ABC$の垂心を$H$としよう．$BC$の真ん中の点を中心とし$H$を過ぎる円のふちが直線$BC$と$A_1,A_2$で付き合う．同じように$CA$の真ん中の点を中心とし$H$を過ぎる円のふちが直線$CA$と$B_1,B_2$で付き合い$AB$の真ん中の点を中心とし$H$を過ぎる円のふちが直線$AB$と$C_1,C_2$で付き合う．このとき点$A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$が一つの円のふちの上に置かれるということを証明せよ．

用語比較

韓国語の原文の方が朝鮮語の原文より漢字が目立つ．「鋭角」を「とがった角」，「円周」を「円のふち」と言い換えるなど，確かに言語純化が進められていることがわかる．しかし韓国語では「示せ」という意味で보여라「見せろ」という固有語を使っているのに対し朝鮮語は漢字語の「証明」を使っているのは興味深い．韓国語では「交わる」というのに만나다「会う」を使っているが，朝鮮語では사귀다「付き合う」を使っている．韓国語と日本語間の差異はこの問題ではあまり見受けられない．

問題2

問題文

日本語

(a) $xyz = 1$をみたす$1$でない実数$x,y,z$に対し，
$$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geqq1$$
が成り立つことを示せ．
(b) $xyz=1$をみたす$1$でない有理数$x,y,z$の組であって，上の不等式の等号を成立させるものが無数に存在することを示せ．

韓国語

原文

(a) 条件 $xyz=1$을 満足시키는 모든 実数 $x,y,z$에 対하여 다음의 不等式을 証明하여라 (但, $x\neq1,y\neq1,z\neq1$):
$$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq1\ .$$
(b) 위에서 等号를 満足시키는 $xyz=1$인 有理数의 세双 $x,y,z$가 無限히 많음을 보여라. 但, $x\neq1,y\neq1,z\neq1$이다.

逐語訳

(a) 条件$xyz=1$を満足させる全ての実数$x,y,z$に対し次の不等式を証明せよ(ただし，$x\neq1,y\neq1,z\neq1$):
$$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq1\ ．$$
(b) 上で等号を満足させる$xyz=1$である有理数の三つ組$x,y,z$が無限に多いことを見せよ．ただし，$x\neq1,y\neq1,z\neq1$である．

朝鮮語

原文

(a) 毎個가 $1$이 아니고 $xyz=1$을 満足하는 모든 実数 $x,y,z$에 対하여 不等式
$$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq1$$
이 선다는 것을 証明하여라.
(b) 毎個가 $1$이 아니고 $xyz=1$을 満足하는 無限히 많은 세 有理数 組 $(x,y,z)$에 対하여 우의 不等式이 等式으로 된다는 것을 証明하여라.

逐語訳

(a) それぞれが$1$でなく$xyz=1$を満足する全ての実数$x,y,z$に対し不等式
$$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geq1$$
が立つということを証明せよ．
(b) それぞれが$1$でなく$xyz=1$を満足する無限に多い三つの有理数の組$(x,y,z)$に対し上の不等式が等式として成ることを証明せよ．

用語比較

「条件を満たす」はそこまで専門的でなくても「条件を満足する/させる」と表現するようである．余談だが韓国語で「実数」は「失敗（漢字は失手）」と同音なので学校で隣の席の人が「三乗の惨状」と寒いギャグを連呼したとき筆者は「実数の失敗」で対抗した．

問題3

問題文

日本語

次の条件をみたす正の整数$n$が無数に存在することを示せ．
　　　条件：$n^2+1$は$2n+\sqrt{2n}$より大きい素因数を持つ．

韓国語

原文

다음의 条件을 満足시키는 陽의 整数 $n$이 無限히 많음을 보여라: $n^2+1$이 $2n+\sqrt{2n}$보다 큰 素数를 約数로 가진다.

逐語訳

次の条件を満足させる陽の整数$n$が無限に多いことを見せよ: $n^2+1$が$2n+\sqrt{2n}$より大きい素数を約数として持つ．

朝鮮語

原文

無限히 많은 自然数 $n$에 対하여 $n^2+1$이 $2n+\sqrt{2n}$보다 큰 씨因数를 가진다는 것을 証明하여라.

逐語訳

無限に多い自然数$n$に対し$n^2+1$が$2n+\sqrt{2n}$より大きい種の因数を持つということを証明せよ．

用語比較

日本語は「正の数」「負の数」を言うところを韓国語は「陽の数」「陰の数」と言うようである．また朝鮮語では純化の結果「素数」を「種の数」と言っている．

問題4

問題文

日本語

関数$f:(0,\ \infty)\rightarrow(0,\ \infty)$（正の実数に対して定義され，正の実数値をとる関数$f$）であって，次の条件をみたすものをすべて求めよ．
　　　条件：$wx=yz$をみたす任意の正の整数$w,\ x,\ y,\ z$に対して，
$$ \frac{\Bigl(f(w)\Bigr)^2 + \Bigl(f(x)\Bigr)^2}{f(y^2)+f(z^2)} =\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}$$
　　　が成立する．

韓国語

原文

다음의 条件을 満足시키는 函数 $f:(0,\ \infty)\rightarrow(0,\ \infty)$를 모두 求하여라 ($f$는 任意의 陽의 実数에 陽의 実数를 対応시키는 函数): $wx=yz$인 모두 陽의 実数 $w,x,y,z$에 対하여
$$ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2)+f(z^2)} =\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}\ .$$

逐語訳

次の条件を満足させる函数$f:(0,\ \infty)\rightarrow(0,\ \infty)$を全て求めよ（$f$は任意の陽の実数に陽の実数を対応させる函数）：$wx=yz$である全ての陽の実数 $w,x,y,z$に対し
$$ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2)+f(z^2)} =\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}\ ．$$

朝鮮語

原文

$wx=yz$인 모든 正의 実数 $w,x,y,z$에 対하여
$$ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2)+f(z^2)} =\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}$$
을 満足하는 모든 函数 $f:(0,\ \infty)\rightarrow(0,\ \infty)$(即, $f$는 正의 実数 모임을 正의 実数 모임으로 넘기는 函数)를 求하여라.

逐語訳

$wx=yz$である全ての正の実数$w,x,y,z$に対し
$$ \frac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2)+f(z^2)} =\frac{w^2+x^2}{y^2+z^2}$$
を満足する全ての函数$f:(0,\ \infty)\rightarrow(0,\ \infty)$（即ち，$f$は正の実数の集まりを正の実の集まりに越させる函数）を求めよ．

用語比較

朝鮮語では日本語同様「正の数」「負の数」と言うらしい．日本語と韓国語が異なり日本語と朝鮮語が一致している例は他に「分度器」（韓国語では각도기「角度器」）などがある．朝鮮語において写像の対応関係を넘기다「越させる」と表現しているのも印象的である．

問題5

問題文

日本語

正の整数$n,\ k$は$k\geqq n$をみたし，$k-n$は偶数である．$1,\ 2,\ \ldots,\ 2n$の番号がついた$2n$個の電球があり，各々は$\on$または$\off$の状態をとる．最初はすべての電球が$\off$になっている．$1$つの電球の状態を入れ替える（$\on$ならば$\off$に，$\off$ならば$\on$にする）ことを操作という．
　$k$回の操作の後，電球$1,\ldots,n$が$\on$，電球$n+1,\ldots,2n$が$\off$となるような$k$回の操作のやり方は$N$通りあるとする．
　$k$回の操作の後，電球$1,\ldots,n$が$\on$，電球$n+1,\ldots,2n$が$\off$となるような$k$回の操作のやり方であって，電球$n+1,\ldots,2n$が一度も$\on$になることのないものは$M$通りあるとする．
　このとき，$\dfrac{N}{M}$を求めよ．

韓国語

原文

주어진 두 陽의 整数 $n$과 $k$에 対하여 $k \geq n$이고, $k-n$은 짝수라고 하자. 이제 $1$番부터 $2n$番까지 番号가 붙은 $2n$個의 lamp를 생각하자. 各々의 lamp에는 켜짐/꺼짐 switch가 付着되어 있고, 처음에는 모든 lamp가 꺼진 状態이다. 하나의 lamp를 択하여 switch의 状態를 (꺼짐에서 켜짐으로 或은 켜짐에서 꺼짐으로) 바꾸는 것을 作動이라 定義하고, $k$回의 連続한 作動을 $k$-作動이라 부르자.
처음의 状態에서 始作하여, $1$番부터 $n$番까지의 lamp는 모두 켜지고 $(n+1)$番부터 $2n$番까지의 lamp는 모두 꺼지도록 하는 $k$-動作의 個数를 $N$이라 하고, 結果는 같으면서 $(n+1)$番부터 $2n$番까지의 lamp는 한番도 켜지 않는 $k$-作動의 個数를 $M$이라 하자. 이때, $N/M$의 값을 求하여라.

逐語訳

与えられた二つの陽の整数$n$と$k$に対し$k \geq n$であり，$k-n$はペアの数としよう．今$1$番から$2n$番まで番号がついた$2n$個のlampを考えよう．各々のlampにはついている状態/消されている状態switchが付着されていて，初めは全てのlampが消されている状態である．一つのlampを選択してswitchの状態を（消されている状態からついている状態へ或いはついている状態から消されている状態へ）変えることを作動と定義して，$k$回の連続した作動を$k$-作動と呼ぼう．
初めの状態から始め，$1$番から$n$番までのlampは全てついていて$(n+1)$番から$2n$番までのlampは全て消えているようにする$k$-動作の個数を$N$とし，結果は同じながら$(n+1)$番から$2n$番までのlampは一回もつかない$k$-作動の個数を$M$としよう．このとき，$N/M$の値を求めよ．

朝鮮語

原文

$n$과 $k$가 自然数들로서 $k \geq n$이고 $k-n$이 짝수라 하자. 番号가 $1,2,\ldots,2n$인 $2n$個의 電灯들이 있는데 毎 電灯은 불을 켜거나 끌 수 있다. 처음에 모든 電灯들은 꺼져 있다. 한番의 操作은 任意로 한 電灯을 잡아 그 状態를 変化시키는 것이다. (꺼져 있으면 켜고 겨져 있으면 끈다.) 이제 $k$番의 連続的인 操作을 $k$-操作이라 부르자.
처음 状態에서 始作하여, $1$番부터 $n$番까지의 電灯은 모두 켜지고 $(n+1)$番부터 $2n$番까지의 電灯은 모두 꺼지도록 하는 $k$-操作의 個数를 $N$이라고 하고, 結果는 같으면서 $(n+1)$番부터 $2n$番까지의 電灯은 한番도 켜지 않는 $k$-操作의 個数를 $M$이라고 하자. 이때, $N/M$의 값을 求하여라.

逐語訳

$n$と$k$が自然数たちとして$k \geq n$であり$k-n$がペアの数としよう．番号が$1,2,\ldots,2n$である$2n$個の電灯たちがあり全ての電灯は明かりをつけたり消したりできる．初めに全ての電灯たちは消されている．一回の操作は任意に一つの電灯をつかみその状態を変化させることだ．（消されていればつけ，ついていれば消す．）今$k$回の連続的である操作を$k$-操作と呼ぼう．
初めの状態から始め，$1$番から$n$番までの電灯は全てつき$(n+1)$番から$2n$番までの電灯は全て消されているようにする$k$-操作の個数を$N$とし，結果は同じながら$(n+1)$番から$2n$番までの電灯は一度もつかない$k$-操作の個数を$M$としよう．このとき，$N/M$の値を求めよ．

用語比較

韓国語/朝鮮語の들は日本語の「たち」に対応する複数語尾で，つけてもいいがつけないことが多い，そして物には原則つけないものなのだが，朝鮮語では複数のものには問答無用で들がつけられている．

問題6

問題文

日本語

凸四角形$ABCD$について，$BA\neq BC$が成り立つ．三角形$ABC,\ ADC$の内接円をそれぞれ$\omega_1, \omega_2$とする．直線$AD,\ CD$に接する円であって，直線$BA$と$A$に関して$B$の反対側（$A$は含まれない）で接し，直線$BC$と$C$に関して$B$の反対側（$C$は含まない）で接するものが存在したとし，この円を$\omega$とする．このとき，$\omega_1,\ \omega_2$の$2$本の共通外接線は$\omega$上で交わることを示せ．

韓国語

原文

볼록四角形 $ABCD$에 対하여 $BA \neq BC$이다. 三角形 $ABC$와 $ADC$의 内接円을 各々 $\omega_1$과 $\omega_2$라 하자. 半直線 $BA$에서 線分 $BA$를 除外한 部分과 半直線 $BC$에서 線分 $BC$를 除外한 部分에 接하면서 同時에 直線 $AD$와 $CD$에 接하는 円 $\omega$가 存在한다고 할 때, 円 $\omega_1$과 $\omega_2$의 두 共通外接線의 交点이 円 $\omega$ 위에 있음을 보여라.

逐語訳

ふっくら四角形$ABCD$に対し$BA \neq BC$である．三角形$ABC$と$ADC$の内接円を各々$\omega_1$と$\omega_2$としよう．半直線$BA$から線分$BA$を除外した部分と半直線$BC$から線分$BC$를を除外した部分に接しながら同時に直線$AD$と$CD$に接する円$\omega$が存在するとするとき，円$\omega_1$と$\omega_2$の二つの共通外接線の交点が円$\omega$の上にあることを見せよ．

朝鮮語

原文

$ABCD$가 $BA \neq BC$인 볼록四角形이라고 하자. $\triangle ABC$와 $\triangle ADC$의 内接円들을 各々 $\omega_1,\ \omega_2$로 表示하자. 이제 네 個 半直線 即 線分 $BA$의 $A$쪽으로의 延長線과 線分 $BC$의 $C$쪽으로의 延長線, 그리고 半直線 $AD$와 半直線 $CD$의 모두와 接하는 円둘레 $\omega$가 存在한다고 하자. 이때 円둘레 $\omega_1$과 $\omega_2$의 共通外接線들은 円둘레 $\omega$ 우에서 사귄다는 것을 証明하여라. (여기서 $\omega_1$과 $\omega_2$의 共通外接線은 그것에 関하여 $\omega_1$과 $\omega_2$이 같은 쪽에 있는 共通接線을 말한다.)

逐語訳

$ABCD$が$BA \neq BC$であるふっくら四角形であるとしよう．$\triangle ABC$と$\triangle ADC$の内接円たちを各々$\omega_1,\ \omega_2$で表示しよう．今四個の半直線即ち線分$BA$の$A$側での延長線と線分$BC$の$C$側での延長線，そして半直線$AD$と半直線$CD$の全てと接する円のふち$\omega$が存在するとしよう．このとき円のふち$\omega_1$と$\omega_2$の共通外接線たちは円のふち$\omega$の上で付き合うということを証明せよ．（ここで$\omega_1$と$\omega_2$の共通外接線はそれに関し$\omega_1$と$\omega_2$が同じ側にある共通接線をいう．）

用語比較

韓国語と朝鮮語ともに凹凸はそれぞれ固有語を用いて오목「ぼこっと」볼록「ふっくら」というようである．

思いつきでテスト前の現実逃避を兼ねて長々と書いてみましたが，思ったより収穫が少なくて残念でした．ハングルのタイピングが少し速くなったくらい？てっきり朝鮮語はもっとずっと純化がすすんでいるものとばかり思っていました．これが最初で最後の記事にならないことを祈ってこれからもしっかりと勉強します……．