分数の足し算

3318

問題
\begin{align*} \frac12 + \frac13 + \frac16 ~=~? \end{align*}

解答

群$G$の元$g, g' \in G$に対して，$G$上の関係$\sim$を
\begin{align*} g\sim g' \iff g' = h^{-1}gh~~~(\exists h \in G) \end{align*}
と定めると，これは同値関係になる；

$(\rm i)$ 反射律
　任意の$g \in G$に対して，$g = 1_G^{-1}\cdot g\cdot 1_{G}$であるから$g \sim g$．
$(\rm ii)$ 対称律
　$g \sim g'$とすると，ある$h \in G$が存在して$g' = h^{-1}gh$となるが，
\begin{align*} g'=h^{-1}gh \iff hg'h^{-1}=g \iff (h^{-1})^{-1} g' (h^{-1}) = g \end{align*}
で，$h^{-1} \in G$より$g' \sim g$である．
$(\rm iii)$ 推移律
　$g \sim g'$, $g' \sim g''$とすると，ある$h_1, h_2 \in G$が存在して$g' = h_1^{-1} g h_1$, $g'' = h_2^{-1} g' h_2$とかける．よって，
\begin{align*} g'' = h_2^{-1}g' h_2 = h_2^{-1}(h_1^{-1}gh_1)h_2 = (h_1 h_2)^{-1} g (h_1 h_2) \end{align*}
となり，$h_1 h_2 \in G$であるから$g \sim g''$．

　$\sim$による$g \in G$の同値類を$C(g)$と書くことにすると，$G$の$\sim$による類別は，
\begin{align*} G=C(g_1) \cup \cdots \cup C(g_r) \end{align*}
とかける．各同値類は互いに交わらないので，
\begin{align*} |G| = |C(g_1)| + \cdots + |C(g_r)| \end{align*}
が得られる．
　ここで，$G$として対称群$S_3$を考える．一般に，$\sigma \in S_n$は互いに共通の数字を含まないいくつかの巡回置換の積でかける．すなわち，
\begin{align*} \sigma = (i_1 \cdots i_s)(j_1 \cdots j_t)\cdots (k_1 \cdots k_u) ~~~(s \geqq t \geqq \cdots \geqq u \geqq 1) \end{align*}
という形にかける．このとき$(s, t, \ldots ,u)$を$\sigma$のサイクルタイプと呼ぶことにすると，$\sigma, \sigma' \in S_n$に対して，$\sigma \sim \sigma'$であることと$\sigma$と$\sigma'$のサイクルタイプが等しいことが同値であることが示せる（ここでは省略する）．
　$S_3$の全ての元に対してそれぞれサイクルタイプを計算すると，
\begin{align*} (1) &\longrightarrow (1) & (1~2) &\longrightarrow (2) & (1~3) &\longrightarrow (2)\\ (2~3) &\longrightarrow (2) & (1~2~3) &\longrightarrow (3) & (1~3~2) &\longrightarrow (3) \\ \end{align*}
となるから，$S_3$は
\begin{align*} S_3 = \{(1)\} \cup \{ (1~2), (1~3), (2~3)\} \cup \{(1~2~3), (1~3~2)\} \end{align*}
と類別できる．ゆえに，
\begin{align*} & |S_3| = |\{(1)\}| + |\{ (1~2), (1~3), (2~3)\}| + |\{(1~2~3), (1~3~2)\}| \\ \iff &~3! ~~= 1 + 3 + 2 \\ \iff &~6 ~~~= 1 + 3 + 2 \end{align*}
両辺を$6$で割れば，
\begin{align*} \frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 \end{align*}
を得る．

別解1

\begin{align*} \frac12 + \frac13 + \frac16 &= \frac{3\cdot 1 + 1 \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac16 \\ &= \frac56 + \frac16 \\ &= 1 \end{align*}

別解2

\begin{align*} \frac12 + \frac13 + \frac16 = x \end{align*}
とおく．両辺に$6$をかければ，
\begin{align*} & 6x = 3 + 2 + 1 \\ \iff & 6x = 6 \\ \iff &~x~=1 \end{align*}

投稿日：2020年11月20日

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