分数の足し算

3358

問題

\begin{array}{r} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = ? \end{array}

解答

群

G

の元

g, g^{'} \in G

に対して，

G

上の関係

\sim

を

\begin{array}{r} g \sim g^{'} ⟺ g^{'} = h^{- 1} g h (\exists h \in G) \end{array}

と定めると，これは同値関係になる；

(i)

反射律
　任意の

g \in G

に対して，

g = 1_{G}^{- 1} \cdot g \cdot 1_{G}

であるから

g \sim g

．

(i i)

対称律
　

g \sim g^{'}

とすると，ある

h \in G

が存在して

g^{'} = h^{- 1} g h

となるが，

\begin{array}{r} g^{'} = h^{- 1} g h ⟺ h g^{'} h^{- 1} = g ⟺ (h^{- 1})^{- 1} g^{'} (h^{- 1}) = g \end{array}

で，

h^{- 1} \in G

より

g^{'} \sim g

である．

(i i i)

推移律
　

g \sim g^{'}

g^{'} \sim g^{″}

とすると，ある

h_{1}, h_{2} \in G

が存在して

g^{'} = h_{1}^{- 1} g h_{1}

g^{″} = h_{2}^{- 1} g^{'} h_{2}

とかける．よって，

\begin{array}{r} g^{″} = h_{2}^{- 1} g^{'} h_{2} = h_{2}^{- 1} (h_{1}^{- 1} g h_{1}) h_{2} = (h_{1} h_{2})^{- 1} g (h_{1} h_{2}) \end{array}

となり，

h_{1} h_{2} \in G

であるから

g \sim g^{″}

．

　

\sim

による

g \in G

の同値類を

C (g)

と書くことにすると，

G

の

\sim

による類別は，

\begin{array}{r} G = C (g_{1}) \cup \dots \cup C (g_{r}) \end{array}

とかける．各同値類は互いに交わらないので，

\begin{array}{r} | G | = | C (g_{1}) | + \dots + | C (g_{r}) | \end{array}

が得られる．
　ここで，

G

として対称群

S_{3}

を考える．一般に，

σ \in S_{n}

は互いに共通の数字を含まないいくつかの巡回置換の積でかける．すなわち，

\begin{array}{r} σ = (i_{1} \dots i_{s}) (j_{1} \dots j_{t}) \dots (k_{1} \dots k_{u}) (s ≧ t ≧ \dots ≧ u ≧ 1) \end{array}

という形にかける．このとき

(s, t, \dots, u)

を

σ

のサイクルタイプと呼ぶことにすると，

σ, σ^{'} \in S_{n}

に対して，

σ \sim σ^{'}

であることと

σ

と

σ^{'}

のサイクルタイプが等しいことが同値であることが示せる（ここでは省略する）．
　

S_{3}

の全ての元に対してそれぞれサイクルタイプを計算すると，

\begin{aligned} (1) & ⟶ (1) & (1 2) & ⟶ (2) & (1 3) & ⟶ (2) \\ (2 3) & ⟶ (2) & (1 2 3) & ⟶ (3) & (1 3 2) & ⟶ (3) \end{aligned}

となるから，

S_{3}

は

\begin{array}{r} S_{3} = {(1)} \cup {(1 2), (1 3), (2 3)} \cup {(1 2 3), (1 3 2)} \end{array}

と類別できる．ゆえに，

\begin{aligned} | S_{3} | = | {(1)} | + | {(1 2), (1 3), (2 3)} | + | {(1 2 3), (1 3 2)} | \\ ⟺ & 3! = 1 + 3 + 2 \\ ⟺ & 6 = 1 + 3 + 2 \end{aligned}

両辺を

6

で割れば，

\begin{array}{r} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 \end{array}

を得る．

別解1

\begin{aligned} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} & = \frac{3 \cdot 1 + 1 \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{1}{6} \\ = \frac{5}{6} + \frac{1}{6} \\ = 1 \end{aligned}

別解2

\begin{array}{r} \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = x \end{array}

とおく．両辺に

6

をかければ，

\begin{aligned} 6 x = 3 + 2 + 1 \\ ⟺ & 6 x = 6 \\ ⟺ & x = 1 \end{aligned}

投稿日：2020年11月20日

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