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分数の足し算
分数の足し算
28
Re_menal
大学数学基礎
解説
分数の足し算
分数
,
ネタ記事
,
足し算
28
0
3358
1
LaTeXエクスポート
問題
1
2
+
1
3
+
1
6
=
?
解答
群
G
の元
g
,
g
′
∈
G
に対して,
G
上の関係
∼
を
g
∼
g
′
⟺
g
′
=
h
−
1
g
h
(
∃
h
∈
G
)
と定めると,これは同値関係になる;
(
i
)
反射律
任意の
g
∈
G
に対して,
g
=
1
G
−
1
⋅
g
⋅
1
G
であるから
g
∼
g
.
(
i
i
)
対称律
g
∼
g
′
とすると,ある
h
∈
G
が存在して
g
′
=
h
−
1
g
h
となるが,
g
′
=
h
−
1
g
h
⟺
h
g
′
h
−
1
=
g
⟺
(
h
−
1
)
−
1
g
′
(
h
−
1
)
=
g
で,
h
−
1
∈
G
より
g
′
∼
g
である.
(
i
i
i
)
推移律
g
∼
g
′
,
g
′
∼
g
″
とすると,ある
h
1
,
h
2
∈
G
が存在して
g
′
=
h
1
−
1
g
h
1
,
g
″
=
h
2
−
1
g
′
h
2
とかける.よって,
g
″
=
h
2
−
1
g
′
h
2
=
h
2
−
1
(
h
1
−
1
g
h
1
)
h
2
=
(
h
1
h
2
)
−
1
g
(
h
1
h
2
)
となり,
h
1
h
2
∈
G
であるから
g
∼
g
″
.
∼
による
g
∈
G
の同値類を
C
(
g
)
と書くことにすると,
G
の
∼
による類別は,
G
=
C
(
g
1
)
∪
⋯
∪
C
(
g
r
)
とかける.各同値類は互いに交わらないので,
|
G
|
=
|
C
(
g
1
)
|
+
⋯
+
|
C
(
g
r
)
|
が得られる.
ここで,
G
として対称群
S
3
を考える.一般に,
σ
∈
S
n
は互いに共通の数字を含まないいくつかの巡回置換の積でかける.すなわち,
σ
=
(
i
1
⋯
i
s
)
(
j
1
⋯
j
t
)
⋯
(
k
1
⋯
k
u
)
(
s
≧
t
≧
⋯
≧
u
≧
1
)
という形にかける.このとき
(
s
,
t
,
…
,
u
)
を
σ
のサイクルタイプと呼ぶことにすると,
σ
,
σ
′
∈
S
n
に対して,
σ
∼
σ
′
であることと
σ
と
σ
′
のサイクルタイプが等しいことが同値であることが示せる(ここでは省略する).
S
3
の全ての元に対してそれぞれサイクルタイプを計算すると,
(
1
)
⟶
(
1
)
(
1
2
)
⟶
(
2
)
(
1
3
)
⟶
(
2
)
(
2
3
)
⟶
(
2
)
(
1
2
3
)
⟶
(
3
)
(
1
3
2
)
⟶
(
3
)
となるから,
S
3
は
S
3
=
{
(
1
)
}
∪
{
(
1
2
)
,
(
1
3
)
,
(
2
3
)
}
∪
{
(
1
2
3
)
,
(
1
3
2
)
}
と類別できる.ゆえに,
|
S
3
|
=
|
{
(
1
)
}
|
+
|
{
(
1
2
)
,
(
1
3
)
,
(
2
3
)
}
|
+
|
{
(
1
2
3
)
,
(
1
3
2
)
}
|
⟺
3
!
=
1
+
3
+
2
⟺
6
=
1
+
3
+
2
両辺を
6
で割れば,
1
2
+
1
3
+
1
6
=
1
を得る.
別解1
1
2
+
1
3
+
1
6
=
3
⋅
1
+
1
⋅
2
2
⋅
3
+
1
6
=
5
6
+
1
6
=
1
別解2
1
2
+
1
3
+
1
6
=
x
とおく.両辺に
6
をかければ,
6
x
=
3
+
2
+
1
⟺
6
x
=
6
⟺
x
=
1
投稿日:2020年11月20日
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Re_menal
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