28

分数の足し算

3358
1

問題
12+13+16 = ?

解答


Gの元g,gGに対して,G上の関係
ggg=h1gh   (hG)
と定めると,これは同値関係になる;

(i) 反射律
 任意のgGに対して,g=1G1g1Gであるからgg
(ii) 対称律
 ggとすると,あるhGが存在してg=h1ghとなるが,
g=h1ghhgh1=g(h1)1g(h1)=g
で,h1Gよりggである.
(iii) 推移律
 gg, ggとすると,あるh1,h2Gが存在してg=h11gh1, g=h21gh2とかける.よって,
g=h21gh2=h21(h11gh1)h2=(h1h2)1g(h1h2)
となり,h1h2Gであるからgg


 によるgGの同値類をC(g)と書くことにすると,Gによる類別は,
G=C(g1)C(gr)
とかける.各同値類は互いに交わらないので,
|G|=|C(g1)|++|C(gr)|
が得られる.
 ここで,Gとして対称群S3を考える.一般に,σSnは互いに共通の数字を含まないいくつかの巡回置換の積でかける.すなわち,
σ=(i1is)(j1jt)(k1ku)   (stu1)
という形にかける.このとき(s,t,,u)σのサイクルタイプと呼ぶことにすると,σ,σSnに対して,σσであることとσσのサイクルタイプが等しいことが同値であることが示せる(ここでは省略する).
 S3の全ての元に対してそれぞれサイクルタイプを計算すると,
(1)(1)(1 2)(2)(1 3)(2)(2 3)(2)(1 2 3)(3)(1 3 2)(3)
となるから,S3
S3={(1)}{(1 2),(1 3),(2 3)}{(1 2 3),(1 3 2)}
と類別できる.ゆえに,
|S3|=|{(1)}|+|{(1 2),(1 3),(2 3)}|+|{(1 2 3),(1 3 2)}| 3!  =1+3+2 6   =1+3+2
両辺を6で割れば,
12+13+16=1
を得る.

別解1


12+13+16=31+1223+16=56+16=1

別解2


12+13+16=x
とおく.両辺に6をかければ,
6x=3+2+16x=6 x =1
投稿日:20201120
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Re_menal
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