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スターリングの近似の簡易版

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{kakko}[1]{\left(#1 \right)} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

スターリングの近似を荒くした$\d n!\simeq\frac{n^n}{e^n}$を示します。

導出

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \d \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln\kakko{\frac{k}{n}}=\int_{0}^{1} \ln(x)dx=-1 (区分求積法より)\\ \\ \d\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln\kakko{\frac{k}{n}}= \frac{1}{n} \ln\kakko{\frac{n!}{n^n}} \end{array} \right. \end{eqnarray} $

より$\d\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \ln\kakko{\frac{n!}{n^n}}=-1$

$ \Longrightarrow $$\d\lim_{n \to \infty} \kakko{\frac{n!}{n^n}}^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{e}$

$ \Longrightarrow $$\d\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}=\frac{1}{e^n}$

$ \Longrightarrow $$\d n!\simeq\frac{n^n}{e^n}$

より示されました。

ひとこと

階乗を指数関数で近似できるというのはすごいですね!より精密なものも自分で導出できたら書いてみます!
短くなってしまいました…

投稿日:20201120

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投稿者

kozy
kozy
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級数をいじったりしてます

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