スターリングの近似の簡易版

スターリングの近似を荒くした${\displaystyle n!\simeq \frac{n^n}{e^n}}$を示します。

導出

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln \left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^1\ln \left(x\right)dx=-1 (区分求積法より)}\\ \\ {\displaystyle \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\ln \left(\frac{k}{n}\right)=\frac{1}{n}\ln \left(\frac{n!}{n^n}\right)}\end{array}\end{array}$

より${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\ln \left(\frac{n!}{n^n}\right)=-1}$

$⟹$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{n!}{n^n}\right)}^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{e}}$

$⟹$${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{e^n}}$

$⟹$${\displaystyle n!\simeq \frac{n^n}{e^n}}$

より示されました。

ひとこと

階乗を指数関数で近似できるというのはすごいですね！より精密なものも自分で導出できたら書いてみます！
短くなってしまいました…