積分解説19

2020/11/20に 白茶 さんが出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/801

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\infty\frac1{e^{x+y+z}-1}dxdydz\\ &=&\int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{e^{-(y+z)}}{e^x-e^{-(y+z)}}dxdydz\\ &=&\int_0^\infty\int_0^\infty\text{Li}_1\l e^{-(y+z)}\r dydz\\ &=&\int_0^1\int_0^1 \frac{\text{Li}_1(yz)}{yz}dydz\\ &=&\int_0^1\int_0^z\frac{\text{Li}_1(y)}{yz}dydz\\ &=&\int_0^1 \frac{\text{Li}_2(z)}zdz\\ &=&\text{Li}_3(1)\\ &=&\z(3) \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$\displaystyle \z(3)$となります。