積分解説19

2020/11/20に 白茶 さんが出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/801

[解説]

$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{e^{x+y+z}-1}dxdydz\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-(y+z)}}{e^x-e^{-(y+z)}}dxdydz\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\text{Li}}_1\left(e^{-(y+z)}\right)dydz\\ & =& {\int }_0^1{\int }_0^1\frac{{\text{Li}}_1(yz)}{yz}dydz\\ & =& {\int }_0^1{\int }_0^z\frac{{\text{Li}}_1(y)}{yz}dydz\\ & =& {\int }_0^1\frac{{\text{Li}}_2(z)}{z}dz\\ & =& {\text{Li}}_3(1)\\ & =& \zeta (3)\end{array}$

よって、この問題の解答は${\displaystyle \zeta (3)}$となります。