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積分解説19

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

2020/11/20に 白茶 さんが出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/801

$$ \displaystyle \int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\infty\frac1{e^{x+y+z}-1}dxdydz $$

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\infty\frac1{e^{x+y+z}-1}dxdydz\\ &=&\int_0^\infty\int_0^\infty\int_0^\infty\frac{e^{-(y+z)}}{e^x-e^{-(y+z)}}dxdydz\\ &=&\int_0^\infty\int_0^\infty\text{Li}_1\l e^{-(y+z)}\r dydz\\ &=&\int_0^1\int_0^1 \frac{\text{Li}_1(yz)}{yz}dydz\\ &=&\int_0^1\int_0^z\frac{\text{Li}_1(y)}{yz}dydz\\ &=&\int_0^1 \frac{\text{Li}_2(z)}zdz\\ &=&\text{Li}_3(1)\\ &=&\z(3) \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$\displaystyle \z(3)$となります。

投稿日:20201120

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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