AMZVの反復積分表示を構成してみよう

depth1のAMZV

depth1,2の反復積分表示

AMZVの反復積分表示を構成する．

$$ \int_0^x\frac{-dt}{1+t}=-\ln(1+x)=\sum_{0< m}\frac{(-x)^m}{m} $$

である．

$x\rightarrow1$とすると，

$$\int_0^1\frac{-dt}{1+t}=\sum_{0< m}\frac{(-1)^m}{m}=\zeta(\overline{1})$$

両辺を$x$で割って$0$から$x$まで積分すると，

$$ \begin{align*} &\int_0^x\frac{dt_2}{t_2}\int_0^{t_2}\frac{-dt_1}{1+t_1}=\sum_{0< m}\frac{(-x)^m}{m^2}\\ \therefore&\int_{0< t_1< t_2< x}\frac{-dt_1}{1+t_1}\frac{dt_2}{t_2}=\sum_{0< m}\frac{(-x)^m}{m^2}\\ \end{align*} $$

$x\rightarrow1$とすると，

$$\int_{0< t_1< t_2<1}\frac{-dt_1}{1+t_1}\frac{dt_2}{t_2}=\sum_{0< m}\frac{(-1)^m}{m^2}=\zeta(\overline{2})$$

両辺を$x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返し，

$$\int_{0< t_1< t_2<\cdots< t_k< x}\frac{-dt_1}{1+t_1}\frac{dt_2}{t_2}\cdots\frac{dt_k}{t_k}=\sum_{0< m}\frac{(-x)^m}{m^k}$$

$x\rightarrow1$とすると，

$$\int_{0< t_1< t_2<\cdots< t_k<1}\frac{-dt_1}{1+t_1}\frac{dt_2}{t_2}\cdots\frac{dt_k}{t_k}=\sum_{0< m}\frac{(-1)^m}{m^k}=\zeta(\overline{k})$$

次に，両辺を$1-x$で割って$0$から$x$まで積分してみよう．
右辺は次のようになる．ただし$|x|<1$とする．

$$ \begin{align*} &\int_0^xdt\sum_{0< m}\frac{(-t)^m}{m^k}\frac1{1-t}\\ =&\int_0^xdt\sum_{0< m}\frac{(-t)^m}{m^k}\sum_{0\leq n}t^n\\ =&\int_0^xdt\sum_{0< m,n}\frac{(-1)^mt^{m+n-1}}{m^k}\\ =&\int_0^xdt\sum_{0< m< n}\frac{(-1)^mt^{n-1}}{m^k}\\ =&\sum_{0< m< n}\frac{(-1)^mx^n}{m^kn} \end{align*} $$

適宜変数を書き換えた．そして両辺を$x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返し，

$$\int_{0< t_1< t_2<\cdots< t_{k_1}< t_{{k_1}+1}< t_{k_1}+2<\cdots< t_{k_1}+t_{k_2}< x}\frac{-dt_1}{1+t_1}\frac{dt_2}{t_2}\cdots\frac{dt_{k_1}}{t_{k_1}}\frac{dt_{k_1+1}}{1-t_{k_1+1}}\frac{dt_{k_1+2}}{t_{k_1+2}}\cdots\frac{dt_{k_1+k_2}}{t_{k_1+k_2}}\\ =\sum_{0< m_1< m_2}\frac{(-1)^{m_1}x^{m_2}}{m_1^{k_1}m_2^{k_2}}$$

$x\rightarrow1$とすると，

$$\int_{0< t_1< t_2<\cdots< t_{k_1}< t_{{k_1}+1}< t_{k_1}+2<\cdots< t_{k_1}+t_{k_2}<1}\frac{-dt_1}{1+t_1}\frac{dt_2}{t_2}\cdots\frac{dt_{k_1}}{t_{k_1}}\frac{dt_{k_1+1}}{1-t_{k_1+1}}\frac{dt_{k_1+2}}{t_{k_1+2}}\cdots\frac{dt_{k_1+k_2}}{t_{k_1+k_2}}\\ =\sum_{0< m_1< m_2}\frac{(-1)^{m_1}}{m_1^{k_1}m_2^{k_2}}=\zeta(\overline{k_1},k_2)$$

両辺$1-x$で割る代わりに$-(1+x)$で割ってみる．右辺は$|x|<1$のもとで，

$$ \begin{align*} &\int_0^xdt\sum_{0< m}\frac{(-t)^m}{m^k}\frac{-1}{1+t}\\ =&-\int_0^xdt\sum_{0< m}\frac{(-t)^m}{m^k}\sum_{0\leq n}(-t)^n\\ =&-\int_0^xdt\sum_{0< m,n}\frac{(-t)^{m+n-1}}{m^k}\\ =&-\int_0^xdt\sum_{0< m< n}\frac{(-t)^{n-1}}{m^k}\\ =&\sum_{0< m< n}\frac{(-x)^n}{m^kn} \end{align*} $$

適宜変数を書き換えた．そして両辺を$x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返し，

$$\int_{0< t_1< t_2<\cdots< t_{k_1}< t_{{k_1}+1}< t_{k_1}+2<\cdots< t_{k_1}+t_{k_2}< x}\frac{-dt_1}{1+t_1}\frac{dt_2}{t_2}\cdots\frac{dt_{k_1}}{t_{k_1}}\frac{-dt_{k_1+1}}{1+t_{k_1+1}}\frac{dt_{k_1+2}}{t_{k_1+2}}\cdots\frac{dt_{k_1+k_2}}{t_{k_1+k_2}}\\ =\sum_{0< m_1< m_2}\frac{(-x)^{m_2}}{m_1^{k_1}m_2^{k_2}}$$

$x\rightarrow1$とすると，

$$\int_{0< t_1< t_2<\cdots< t_{k_1}< t_{{k_1}+1}< t_{k_1}+2<\cdots< t_{k_1}+t_{k_2}<1}\frac{-dt_1}{1+t_1}\frac{dt_2}{t_2}\cdots\frac{dt_{k_1}}{t_{k_1}}\frac{-dt_{k_1+1}}{1+t_{k_1+1}}\frac{dt_{k_1+2}}{t_{k_1+2}}\cdots\frac{dt_{k_1+k_2}}{t_{k_1+k_2}}\\ =\sum_{0< m_1< m_2}\frac{(-1)^{m_2}}{m_1^{k_1}m_2^{k_2}}=\zeta(k_1,\overline{k_2})$$

$\zeta(k)$の反復積分表示から$-(1+x)$で割ってから積分してみよう．

$$\zeta(k)=\sum_{0< m}\frac1{m^k}=\int_{0< t_1< t_2<\cdots< t_k<1}\frac{dt_1}{1-t_1}\frac{dt_2}{t_2}\cdots\frac{dt_k}{t_k}$$

だったから，総和はこうなる．

$$ \begin{align*} &\int_0^xdt\sum_{0< m}\frac{t^m}{m^k}\frac{-1}{1+t}\\ =&-\int_0^xdt\sum_{0< m}\frac{t^m}{m^k}\sum_{0\leq n}(-t)^n\\ =&-\int_0^xdt\sum_{0< m,n}\frac{(-1)^{n-1}t^{m+n-1}}{m^k}\\ =&-\int_0^xdt\sum_{0< m,n}\frac{(-1)^m(-t)^{m+n-1}}{m^k}\\ =&-\int_0^xdt\sum_{0< m< n}\frac{(-1)^m(-t)^{n-1}}{m^k}\\ =&\sum_{0< m< n}\frac{(-1)^m(-x)^n}{m^kn} \end{align*} $$

つまり色々すっとばして最終的に，

$$\int_{0< t_1< t_2<\cdots< t_{k_1}< t_{{k_1}+1}< t_{k_1}+2<\cdots< t_{k_1}+t_{k_2}<1}\frac{dt_1}{1-t_1}\frac{dt_2}{t_2}\cdots\frac{dt_{k_1}}{t_{k_1}}\frac{-dt_{k_1+1}}{1+t_{k_1+1}}\frac{dt_{k_1+2}}{t_{k_1+2}}\cdots\frac{dt_{k_1+k_2}}{t_{k_1+k_2}}\\ =\sum_{0< m_1< m_2}\frac{(-1)^{m_1+m_2}}{m_1^{k_1}m_2^{k_2}}=\zeta(\overline{k_1},\overline{k_2})$$

ここで，反復積分表示の略記を導入する．

観察してみると，$-1$は一つ前の$1$あるいは$-1$を反転させているようだ．もっとも，depth2までしか確認してないので，確実ではないが．
ではdepth3以降も見よう．

$\zeta(\cdots,k_n)$あるいは$\zeta(\cdots,\overline{k_n})$についてインデックスを一つ追加する操作を行う．

追加操作

1個目

まず級数
$$ \sum_{0<\cdots< m_n}\frac{\cdots x^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\ (|x|<1) $$
について，

1. 1. $1-x$で割って$0$から$x$まで積分する
      • $x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返す
      • $x\rightarrow1$とする
2. 最初に$-(1+x)$で割り以下同様

とする．

1の操作

1. $1-x$で割って$0$から$x$まで積分する
   $$ \begin{align*} &\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n}\frac{\cdots t^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\frac{dt}{1-t}\\ =&\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n}\frac{\cdots t^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\sum_{0\leq i}t^idt\\ =&\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n\\{0\leq i}}\frac{\cdots t^{m_n+i}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =&\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots t^{m_{n+1}-1}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =&\sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots x^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}m_{n+1}} \end{align*} $$

2. $x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返す
   $$\sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots x^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}m_{n+1}^{k_{n+1}}}$$

3. $x\rightarrow1$とする
   $$ \sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots}{\cdots m_n^{k_n}m_{n+1}^{k_{n+1}}}=\zeta(\ldots,k_n,k_{n+1}) $$

よって，積分表示と対応させると，
$$I(\ldots,1,\{0\}^{k_n-1},1,\{0\}^{k_{n+1}-1})=\zeta(\ldots,k_n,k_{n+1})$$
である．

2の操作

1. $-(1+x)$で割って$0$から$x$まで積分する
   $$ \begin{align*} &\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n}\frac{\cdots t^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\frac{-dt}{1+t}\\ =&-\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n}\frac{\cdots t^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\sum_{0\leq i}(-t)^idt\\ =&-\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n\\{0\leq i}}\frac{\cdots (-1)^{m_n}(-t)^{m_n+i}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =&-\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots (-1)^{m_n}(-t)^{m_{n+1}-1}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =&\sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots (-1)^{m_n}(-x)^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}m_{n+1}} \end{align*} $$

2. $x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返す
   $$\sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots (-1)^{m_n}(-x)^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}m_{n+1}^{k_{n+1}}}$$

3. $x\rightarrow1$とする
   $$ \sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots(-1)^{m_n+m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}m_{n+1}^{k_{n+1}}}=\zeta(\ldots,\overline{k_n},\overline{k_{n+1}}) $$

よって，積分表示と対応させると，
$$I(\ldots,1,\{0\}^{k_n-1},-1,\{0\}^{k_{n+1}-1})=\zeta(\ldots,\overline{k_n},\overline{k_{n+1}})$$
である．

2個目

次に級数
$$ \sum_{0<\cdots< m_n}\frac{\cdots (-x)^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\ (|x|<1) $$
について，

1. 1. $1-x$で割って$0$から$x$まで積分する
      • $x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返す
      • $x\rightarrow1$とする
2. 最初に$-(1+x)$で割り以下同様

とする．

1の操作

1. $1-x$で割って$0$から$x$まで積分する
   $$ \begin{align*} &\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n}\frac{\cdots (-t)^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\frac{dt}{1-t}\\ =&\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n}\frac{\cdots (-t)^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\sum_{0\leq i}t^idt\\ =&\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n\\{0\leq i}}\frac{\cdots (-1)^{m_n}t^{m_n+i}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =&\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots (-1)^{m_n}t^{m_{n+1}-1}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =&\sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots (-1)^{m_n}x^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}m_{n+1}} \end{align*} $$

2. $x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返す
   $$\sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots (-1)^{m_n}x^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}m_{n+1}^{k_{n+1}}}$$

3. $x\rightarrow1$とする
   $$ \sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots(-1)^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}m_{n+1}^{k_{n+1}}}=\zeta(\ldots,\overline{k_n},k_{n+1}) $$

よって，積分表示と対応させると，
$$I(\ldots,-1,\{0\}^{k_n-1},1,\{0\}^{k_{n+1}-1})=\zeta(\ldots,\overline{k_n},k_{n+1})$$
である．

2の操作

1. $-(1+x)$で割って$0$から$x$まで積分する
   $$ \begin{align*} &\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n}\frac{\cdots (-t)^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\frac{-dt}{1+t}\\ =&-\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n}\frac{\cdots (-t)^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\sum_{0\leq i}(-t)^idt\\ =&-\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n\\{0\leq i}}\frac{\cdots (-t)^{m_n+i}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =&-\int_0^x\sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots (-t)^{m_{n+1}-1}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =&\sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots (-x)^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}m_{n+1}} \end{align*} $$

2. $x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返す
   $$\sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots (-x)^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}m_{n+1}^{k_{n+1}}}$$

3. $x\rightarrow1$とする
   $$ \sum_{0<\cdots< m_n< m_{n+1}}\frac{\cdots(-1)^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}m_{n+1}^{k_{n+1}}}=\zeta(\ldots,k_n,\overline{k_{n+1}}) $$

よって，積分表示と対応させると，
$$I(\ldots,-1,\{0\}^{k_n-1},-1,\{0\}^{k_{n+1}-1})=\zeta(\ldots,k_n,\overline{k_{n+1}})$$
である．

結果

まとめると，こうである．

まあ，予想通りというか，反復積分表示における，$-1$は前の$1$あるいは$-1$を反転させるような作用があるようだ．
なので，AMZVと反復積分表示は左から対応させると良さそうだ．