AMZVの反復積分表示を構成してみよう

depth1のAMZV

depth1,2の反復積分表示

AMZVの反復積分表示を構成する．

$${\int }_0^x\frac{-dt}{1+t}=-\ln (1+x)=\sum _{0<m}\frac{(-x{)}^m}{m}$$

である．

$x\to 1$とすると，

$${\int }_0^1\frac{-dt}{1+t}=\sum _{0<m}\frac{(-1{)}^m}{m}=\zeta (\bar{1})$$

両辺を$x$で割って$0$から$x$まで積分すると，

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^x\frac{d{t}_2}{t_2}{\int }_0^{t_2}\frac{-d{t}_1}{1+t_1}=\sum _{0<m}\frac{(-x{)}^m}{m^2}\\ \therefore & {\int }_{0<t_1<t_2<x}\frac{-d{t}_1}{1+t_1}\frac{d{t}_2}{t_2}=\sum _{0<m}\frac{(-x{)}^m}{m^2}\end{array}$$

$x\to 1$とすると，

$${\int }_{0<t_1<t_2<1}\frac{-d{t}_1}{1+t_1}\frac{d{t}_2}{t_2}=\sum _{0<m}\frac{(-1{)}^m}{m^2}=\zeta (\bar{2})$$

両辺を$x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返し，

$${\int }_{0<t_1<t_2<\cdots <t_k<x}\frac{-d{t}_1}{1+t_1}\frac{d{t}_2}{t_2}\cdots \frac{d{t}_k}{t_k}=\sum _{0<m}\frac{(-x{)}^m}{m^k}$$

$x\to 1$とすると，

$${\int }_{0<t_1<t_2<\cdots <t_k<1}\frac{-d{t}_1}{1+t_1}\frac{d{t}_2}{t_2}\cdots \frac{d{t}_k}{t_k}=\sum _{0<m}\frac{(-1{)}^m}{m^k}=\zeta (\bar{k})$$

次に，両辺を$1-x$で割って$0$から$x$まで積分してみよう．
右辺は次のようになる．ただし$|x|<1$とする．

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{x}dt\sum _{0<m}\frac{(-t{)}^m}{m^k}\frac{1}{1-t}\\ =& {\int }_0^{x}dt\sum _{0<m}\frac{(-t{)}^m}{m^k}\sum _{0\le n}{t}^n\\ =& {\int }_0^{x}dt\sum _{0<m,n}\frac{(-1{)}^m{t}^{m+n-1}}{m^k}\\ =& {\int }_0^{x}dt\sum _{0<m<n}\frac{(-1{)}^m{t}^{n-1}}{m^k}\\ =& \sum _{0<m<n}\frac{(-1{)}^m{x}^n}{m^{k}n}\end{array}$$

適宜変数を書き換えた．そして両辺を$x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返し，

$$\begin{gathered} {\int }_{0<t_1<t_2<\cdots <t_{k_1}<t_{k_1+1}<t_{k_1}+2<\cdots <t_{k_1}+t_{k_2}<x}\frac{-d{t}_1}{1+t_1}\frac{d{t}_2}{t_2}\cdots \frac{d{t}_{k_1}}{t_{k_1}}\frac{d{t}_{k_1+1}}{1-t_{k_1+1}}\frac{d{t}_{k_1+2}}{t_{k_1+2}}\cdots \frac{d{t}_{k_1+k_2}}{t_{k_1+k_2}} \\ =\sum _{0<m_1<m_2}\frac{(-1{)}^{m_1}{x}^{m_2}}{m_1^{k_1}{m}_2^{k_2}} \end{gathered}$$

$x\to 1$とすると，

$$\begin{gathered} {\int }_{0<t_1<t_2<\cdots <t_{k_1}<t_{k_1+1}<t_{k_1}+2<\cdots <t_{k_1}+t_{k_2}<1}\frac{-d{t}_1}{1+t_1}\frac{d{t}_2}{t_2}\cdots \frac{d{t}_{k_1}}{t_{k_1}}\frac{d{t}_{k_1+1}}{1-t_{k_1+1}}\frac{d{t}_{k_1+2}}{t_{k_1+2}}\cdots \frac{d{t}_{k_1+k_2}}{t_{k_1+k_2}} \\ =\sum _{0<m_1<m_2}\frac{(-1{)}^{m_1}}{m_1^{k_1}{m}_2^{k_2}}=\zeta (\overline{k_1},k_2) \end{gathered}$$

両辺$1-x$で割る代わりに$-(1+x)$で割ってみる．右辺は$|x|<1$のもとで，

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{x}dt\sum _{0<m}\frac{(-t{)}^m}{m^k}\frac{-1}{1+t}\\ =& -{\int }_0^{x}dt\sum _{0<m}\frac{(-t{)}^m}{m^k}\sum _{0\le n}(-t{)}^n\\ =& -{\int }_0^{x}dt\sum _{0<m,n}\frac{(-t{)}^{m+n-1}}{m^k}\\ =& -{\int }_0^{x}dt\sum _{0<m<n}\frac{(-t{)}^{n-1}}{m^k}\\ =& \sum _{0<m<n}\frac{(-x{)}^n}{m^{k}n}\end{array}$$

適宜変数を書き換えた．そして両辺を$x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返し，

$$\begin{gathered} {\int }_{0<t_1<t_2<\cdots <t_{k_1}<t_{k_1+1}<t_{k_1}+2<\cdots <t_{k_1}+t_{k_2}<x}\frac{-d{t}_1}{1+t_1}\frac{d{t}_2}{t_2}\cdots \frac{d{t}_{k_1}}{t_{k_1}}\frac{-d{t}_{k_1+1}}{1+t_{k_1+1}}\frac{d{t}_{k_1+2}}{t_{k_1+2}}\cdots \frac{d{t}_{k_1+k_2}}{t_{k_1+k_2}} \\ =\sum _{0<m_1<m_2}\frac{(-x{)}^{m_2}}{m_1^{k_1}{m}_2^{k_2}} \end{gathered}$$

$x\to 1$とすると，

$$\begin{gathered} {\int }_{0<t_1<t_2<\cdots <t_{k_1}<t_{k_1+1}<t_{k_1}+2<\cdots <t_{k_1}+t_{k_2}<1}\frac{-d{t}_1}{1+t_1}\frac{d{t}_2}{t_2}\cdots \frac{d{t}_{k_1}}{t_{k_1}}\frac{-d{t}_{k_1+1}}{1+t_{k_1+1}}\frac{d{t}_{k_1+2}}{t_{k_1+2}}\cdots \frac{d{t}_{k_1+k_2}}{t_{k_1+k_2}} \\ =\sum _{0<m_1<m_2}\frac{(-1{)}^{m_2}}{m_1^{k_1}{m}_2^{k_2}}=\zeta (k_1,\overline{k_2}) \end{gathered}$$

$\zeta (k)$の反復積分表示から$-(1+x)$で割ってから積分してみよう．

$$\zeta (k)=\sum _{0<m}\frac{1}{m^k}={\int }_{0<t_1<t_2<\cdots <t_k<1}\frac{d{t}_1}{1-t_1}\frac{d{t}_2}{t_2}\cdots \frac{d{t}_k}{t_k}$$

だったから，総和はこうなる．

$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{x}dt\sum _{0<m}\frac{t^m}{m^k}\frac{-1}{1+t}\\ =& -{\int }_0^{x}dt\sum _{0<m}\frac{t^m}{m^k}\sum _{0\le n}(-t{)}^n\\ =& -{\int }_0^{x}dt\sum _{0<m,n}\frac{(-1{)}^{n-1}{t}^{m+n-1}}{m^k}\\ =& -{\int }_0^{x}dt\sum _{0<m,n}\frac{(-1{)}^m(-t{)}^{m+n-1}}{m^k}\\ =& -{\int }_0^{x}dt\sum _{0<m<n}\frac{(-1{)}^m(-t{)}^{n-1}}{m^k}\\ =& \sum _{0<m<n}\frac{(-1{)}^m(-x{)}^n}{m^{k}n}\end{array}$$

つまり色々すっとばして最終的に，

$$\begin{gathered} {\int }_{0<t_1<t_2<\cdots <t_{k_1}<t_{k_1+1}<t_{k_1}+2<\cdots <t_{k_1}+t_{k_2}<1}\frac{d{t}_1}{1-t_1}\frac{d{t}_2}{t_2}\cdots \frac{d{t}_{k_1}}{t_{k_1}}\frac{-d{t}_{k_1+1}}{1+t_{k_1+1}}\frac{d{t}_{k_1+2}}{t_{k_1+2}}\cdots \frac{d{t}_{k_1+k_2}}{t_{k_1+k_2}} \\ =\sum _{0<m_1<m_2}\frac{(-1{)}^{m_1+m_2}}{m_1^{k_1}{m}_2^{k_2}}=\zeta (\overline{k_1},\overline{k_2}) \end{gathered}$$

ここで，反復積分表示の略記を導入する．

観察してみると，$-1$は一つ前の$1$あるいは$-1$を反転させているようだ．もっとも，depth2までしか確認してないので，確実ではないが．
ではdepth3以降も見よう．

$\zeta (\cdots ,k_n)$あるいは$\zeta (\cdots ,\overline{k_n})$についてインデックスを一つ追加する操作を行う．

追加操作

1個目

まず級数
$$\sum _{0<\cdots <m_n}\frac{\cdots x^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}(|x|<1)$$
について，

1. 1. $1-x$で割って$0$から$x$まで積分する
      • $x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返す
      • $x\to 1$とする
2. 最初に$-(1+x)$で割り以下同様

とする．

1の操作

1. $1-x$で割って$0$から$x$まで積分する
   $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n}\frac{\cdots t^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\frac{dt}{1-t}\\ =& {\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n}\frac{\cdots t^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\sum _{0\le i}{t}^{i}dt\\ =& {\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n \\ 0\le i}\frac{\cdots t^{m_n+i}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =& {\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots t^{m_{n+1}-1}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =& \sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots x^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}{m}_{n+1}}\end{array} \end{gathered}$$

2. $x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返す
   $$\sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots x^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}{m}_{n+1}^{k_{n+1}}}$$

3. $x\to 1$とする
   $$\sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots }{\cdots m_n^{k_n}{m}_{n+1}^{k_{n+1}}}=\zeta (\dots ,k_n,k_{n+1})$$

よって，積分表示と対応させると，
$$I(\dots ,1,\{0{\}}^{k_n-1},1,\{0{\}}^{k_{n+1}-1})=\zeta (\dots ,k_n,k_{n+1})$$
である．

2の操作

1. $-(1+x)$で割って$0$から$x$まで積分する
   $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n}\frac{\cdots t^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\frac{-dt}{1+t}\\ =& -{\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n}\frac{\cdots t^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\sum _{0\le i}(-t{)}^{i}dt\\ =& -{\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n \\ 0\le i}\frac{\cdots (-1{)}^{m_n}(-t{)}^{m_n+i}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =& -{\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots (-1{)}^{m_n}(-t{)}^{m_{n+1}-1}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =& \sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots (-1{)}^{m_n}(-x{)}^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}{m}_{n+1}}\end{array} \end{gathered}$$

2. $x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返す
   $$\sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots (-1{)}^{m_n}(-x{)}^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}{m}_{n+1}^{k_{n+1}}}$$

3. $x\to 1$とする
   $$\sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots (-1{)}^{m_n+m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}{m}_{n+1}^{k_{n+1}}}=\zeta (\dots ,\overline{k_n},\overline{k_{n+1}})$$

よって，積分表示と対応させると，
$$I(\dots ,1,\{0{\}}^{k_n-1},-1,\{0{\}}^{k_{n+1}-1})=\zeta (\dots ,\overline{k_n},\overline{k_{n+1}})$$
である．

2個目

次に級数
$$\sum _{0<\cdots <m_n}\frac{\cdots (-x{)}^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}(|x|<1)$$
について，

1. 1. $1-x$で割って$0$から$x$まで積分する
      • $x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返す
      • $x\to 1$とする
2. 最初に$-(1+x)$で割り以下同様

とする．

1の操作

1. $1-x$で割って$0$から$x$まで積分する
   $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n}\frac{\cdots (-t{)}^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\frac{dt}{1-t}\\ =& {\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n}\frac{\cdots (-t{)}^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\sum _{0\le i}{t}^{i}dt\\ =& {\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n \\ 0\le i}\frac{\cdots (-1{)}^{m_n}{t}^{m_n+i}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =& {\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots (-1{)}^{m_n}{t}^{m_{n+1}-1}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =& \sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots (-1{)}^{m_n}{x}^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}{m}_{n+1}}\end{array} \end{gathered}$$

2. $x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返す
   $$\sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots (-1{)}^{m_n}{x}^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}{m}_{n+1}^{k_{n+1}}}$$

3. $x\to 1$とする
   $$\sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots (-1{)}^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}{m}_{n+1}^{k_{n+1}}}=\zeta (\dots ,\overline{k_n},k_{n+1})$$

よって，積分表示と対応させると，
$$I(\dots ,-1,\{0{\}}^{k_n-1},1,\{0{\}}^{k_{n+1}-1})=\zeta (\dots ,\overline{k_n},k_{n+1})$$
である．

2の操作

1. $-(1+x)$で割って$0$から$x$まで積分する
   $$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& {\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n}\frac{\cdots (-t{)}^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\frac{-dt}{1+t}\\ =& -{\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n}\frac{\cdots (-t{)}^{m_n}}{\cdots m_n^{k_n}}\sum _{0\le i}(-t{)}^{i}dt\\ =& -{\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n \\ 0\le i}\frac{\cdots (-t{)}^{m_n+i}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =& -{\int }_0^x\sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots (-t{)}^{m_{n+1}-1}}{\cdots m_n^{k_n}}dt\\ =& \sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots (-x{)}^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}{m}_{n+1}}\end{array} \end{gathered}$$

2. $x$で割って$0$から$x$まで積分する操作を繰り返す
   $$\sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots (-x{)}^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}{m}_{n+1}^{k_{n+1}}}$$

3. $x\to 1$とする
   $$\sum _{0<\cdots <m_n<m_{n+1}}\frac{\cdots (-1{)}^{m_{n+1}}}{\cdots m_n^{k_n}{m}_{n+1}^{k_{n+1}}}=\zeta (\dots ,k_n,\overline{k_{n+1}})$$

よって，積分表示と対応させると，
$$I(\dots ,-1,\{0{\}}^{k_n-1},-1,\{0{\}}^{k_{n+1}-1})=\zeta (\dots ,k_n,\overline{k_{n+1}})$$
である．

結果

まとめると，こうである．

まあ，予想通りというか，反復積分表示における，$-1$は前の$1$あるいは$-1$を反転させるような作用があるようだ．
なので，AMZVと反復積分表示は左から対応させると良さそうだ．