積分解説21

有名問題です。

がっしー さんの こちら のツイートを見て閃いたので、まずはそちらを見てみることをお勧めします。

[解説]
$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{3}dx\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\sin }^{3}x{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^2{e}^{-xy}dydx\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^2{\sin }^{3}x{e}^{-xy}dxdy\\ & =& \frac{1}{8}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^2{e}^{-xy}(3\sin x-\sin 3x)dxdy\\ & =& \frac{1}{8}\mathrm{Im}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^2(3e^{-(y-i)x}-e^{-(y-3i)x})dxdy\\ & =& \frac{1}{8}\mathrm{Im}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^2{[-\frac{3}{y-i}{e}^{-(y-i)x}+\frac{1}{y-3i}{e}^{-(y-3i)x}]}_0^{\mathrm{\infty }}dy\\ & =& \frac{1}{8}\mathrm{Im}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^2(\frac{3}{y-i}-\frac{1}{y-3i})dy\\ & =& \frac{1}{8}\mathrm{Im}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{y}^2(\frac{3(y+i)}{y^2+1}-\frac{y+3i}{y^2+9})dy\\ & =& \frac{3}{8}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{y^2}{y^2+1}-\frac{y^2}{y^2+9})dy\\ & =& \frac{3}{8}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}(\frac{9}{y^2+9}-\frac{1}{y^2+1})dy\\ & =& \frac{3}{8}{[3\arctan \frac{y}{3}-\arctan y]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =& \frac{3}{8}\pi \end{array}$

よって、この問題の解答は${\displaystyle \frac{3}{8}\pi }$となります。