積分解説21
有名問題です。
がっしー さんの こちら のツイートを見て閃いたので、まずはそちらを見てみることをお勧めします。
$$ \displaystyle \int_0^\infty \l\frac{\sin{x}}{x}\r^ 3 dx $$
[解説]
$
\begin{eqnarray*}
&&\int_0^\infty \l\frac{\sin{x}}{x}\r^3 dx\\
&=&\frac12\int_0^\infty \sin^3x\int_0^\infty y^2e^{-xy}dydx\\
&=&\frac12\int_0^\infty\int_0^\infty y^2\sin^3xe^{-xy}dxdy\\
&=&\frac18\int_0^\infty\int_0^\infty y^2e^{-xy}(3\sin x-\sin3x)dxdy\\
&=&\frac18\Im\int_0^\infty\int_0^\infty y^2\l 3e^{-(y-i)x}-e^{-(y-3i)x} \r dxdy\\
&=&\frac18\Im\int_0^\infty y^2\left[-\frac3{y-i}e^{-(y-i)x}+\frac1{y-3i}e^{-(y-3i)x} \right]_0^\infty dy\\
&=&\frac18\Im\int_0^\infty y^2\l \frac3{y-i}-\frac1{y-3i} \r dy\\
&=&\frac18\Im\int_0^\infty y^2\l \frac{3(y+i)}{y^2+1}-\frac{y+3i}{y^2+9} \r dy\\
&=&\frac38\int_0^\infty \l \frac{y^2}{y^2+1}-\frac{y^2}{y^2+9} \r dy\\
&=&\frac38\int_0^\infty \l \frac9{y^2+9}-\frac1{y^2+1} \r dy\\
&=&\frac38\left[3\arctan\frac y3-\arctan y \right]_0^\infty\\
&=&\frac38\pi
\end{eqnarray*}
$
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac38\pi$となります。