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高校数学解説
文献あり

楕円の面積

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二次曲線の焦点の座標を係数から計算する 焦点座標という記事でapu_yokaiさんが一般の場合の楕円・双曲線の焦点の座標を計算されていました。

この記事に触発されまして、わたしは一般の場合における楕円の面積を載せようと思います。

平行移動と回転移動により標準形に持っていくこともできますが、ここでは積分で求めます。

楕円の式

直交座標系が設定されている平面上の二次曲線は一般に次のように表されます。

  1. Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,B,C,D,E,FR)
  2. ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0(a,b,c,d,e,fR)

この記事では ii. の一般式の場合で計算を進めます。

この記事で計算に使用する二次曲線の式

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0

この式は(xy1)(abdbcedef)(xy1)=0のように対称行列を用いて書くことができます。

対称行列Mと実数μ,νを次のように定義しておきます。

M,μ,νの定義

M:=(abdbcedef)
μ:=detM=acf+2bdeae2cd2b2f
ν:=m~3,3=M3,3=acb2

二次曲線ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0が楕円であるための条件は次の通りです。

楕円の条件

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0が楕円になるための必要十分条件は、ν>0かつaμ<0である。
また、この条件はν>0かつcμ<0と同値である。

証明は「二次曲線の分類」で検索すれば出てくると思いますのでここでは省略します。
[追記:ν>0の条件を載せているwebサイトはいろいろ見つかりますが、aμ<0の方の条件を載せているwebサイトはあまりあまり多くないですね。aμ<0でないとどうなるかを簡単に書いておくと、ν>0かつaμ>0だとax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0の左辺が常に正あるいは常に負となってしまって式を満たす(x,y)が存在せず、ν>0かつaμ=0だとax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0を満たす(x,y)はただ一つだけになります。※下に 追記の追記 を書きました。]

以降、この記事ではこの条件を満たしているとして計算を進めます。

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0が楕円になるとき、a0,c0である。

ν=acb2>0なので、ac>b20よりa0,c0となる。

楕円の面積 導出

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0
yについて整理して解きます。
cy2+2(bx+e)y+ax2+2dx+f=0
およびc0より、
y=(bx+e)±Δc
となります。ここで、
Δ=(bx+e)2c(ax2+2dx+f)=(acb2)x2+2(becd)x(cfe2)=(acb2)(xbecdacb2)2+(becd)2acb2(cfe2)=(acb2)(xbecdacb2)2+c(acf+2bdeae2cd2b2f)acb2=ν(xbecdν)2+cμν=1ν(νx(becd))2+cμν=cμν(1(νx(becd))2cμ)
です。
Δxの関数とみなす場合、ν>0,cμ>0に注意して式変形の5行目を見ると、Δは上に凸でx軸と2点で交わる放物線であることがわかります。
ここで、Δx軸と交わる2点をx1,x2(x1<x2)とおくと、
x1=becdcμν,x2=becd+cμν
となります。これを用いるとΔの符号は次のようになります。
{Δ>0(x1<x<x2のとき)Δ=0(x=x1,x2のとき)Δ<0(x<x1,x2<xのとき)
Δ0ならばy=(bx+e)±Δcは実数になるので、このとき楕円とx軸に直交する直線は共有点を持ちます。
x1<x<x2においてx軸と直交する直線は楕円と2点(x,(bx+e)+Δc),(x,(bx+e)Δc)で交わり、x=x1,x2x軸と直交する直線は楕円と1点(x,(bx+e)c)で接します。

楕円の面積はx1xx2の範囲で(x,(bx+e)+Δc)(x,(bx+e)Δc)を結ぶ線分の長さを積分すると求まります。
楕円の面積をSとすると、
S=x1x2|(bx+e)+Δc(bx+e)Δc|dx=2|c|x1x2Δdx=2|c|cμνx1x211cμ(νx(becd))2dx
となります。ここで
t=1cμ(νx(becd))
とおくと
t|x=x1=1,t|x=x2=1,dxdt=cμν
なので、

S=2|c|cμνx1x211cμ(νx(becd))2dx=2|c|cμν111t2cμνdt=2|μ|ν32111t2dt
です。
この積分I=111t2dtは単位円の上半分なのでπ2になることは明らかです。
ですが一応Iの計算も書いておくことにすると、t=sinθとおくことで
I=111t2dt=π2π21sin2θcosθdθ=π2π2cos2θdθ=π2π21+cos2θ2dθ=[θ2+sin2θ4]π2π2=(π22+sinπ4)(π22+sin(π)4)=π2
となります。
よって、楕円の面積S
S=2|μ|ν32111t2dt=2|μ|ν32π2=π|μ|ν32
となって、 ii. の一般式での楕円の面積が求まりました。

楕円ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0の面積S

S=π|acf+2bdeae2cd2b2f|(acb2)32

また、i. の一般式の場合はa=A,b=B2,c=C,d=D2,e=E2,f=Fを代入して整理すると次のようになります。

楕円Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0の面積S

S=2π|4ACF+BDEAE2CD2B2F|(4ACB2)32

追記の追記(二次曲線の分類)

ν>0かつaμ>0だとax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0の左辺が常に正あるいは常に負となってしまって式を満たす(x,y)が存在せず、ν>0かつaμ=0だとax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0を満たす(x,y)はただ一つだけになります。」

本文中に追記でこのように書きましたが、もう少し詳しく書いておきます。

簡単な説明 (ν>0のとき)

acb2>0が成り立つときa0なので、ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0の両辺にaをかけて
a(ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f)=0
としても問題ありません。acb2>0を利用してこの式を変形すると、
(ax+by+d)2+1acb2((acb2)y(bdae))2=a(acf+2bdeae2cd2b2f)acb2
とすることができます。

ここで、acb2>0なので左辺は0以上になります。

  • 右辺が負のとき、この式を満たす(x,y)が存在しないことは明らかです。
  • 右辺が0のとき、直線ax+by+d=0と直線(acb2)y(bdae)=0の交点(becdacb2,bdaeacb2)のみが式を満たします。
  • 右辺が正のとき、点(becdacb2,bdaeacb2)を中心とし、直線ax+by+d=0と直線(acb2)y(bdae)=0が互いに共役直径となる楕円になります。

補足 (ν<0のとき)


a0かつacb2<0となる場合を見てみましょう。
a(ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f)=0
を変形すると
(ax+by+d)21b2ac((b2ac)y+(bdae))2=a(acf+2bdeae2cd2b2f)b2ac
となりますが、b2ac>0なので左辺は因数分解できて
((ax+by+d)+1b2ac((b2ac)y+(bdae)))((ax+by+d)1b2ac((b2ac)y+(bdae)))=a(acf+2bdeae2cd2b2f)b2ac
となり、整理すると
(ax+(b+b2ac)y+d+bdaeb2ac)(ax+(bb2ac)y+dbdaeb2ac)=a(acf+2bdeae2cd2b2f)b2ac
となります。

  • 右辺が0のとき、直線ax+(b+b2ac)y+d+bdaeb2ac=0と直線ax+(bb2ac)y+dbdaeb2ac=0を合わせた2直線になります。
  • 右辺が0でないとき、点(becdb2ac,bdaeb2ac)を中心とし、直線ax+(b+b2ac)y+d+bdaeb2ac=0と直線ax+(bb2ac)y+dbdaeb2ac=0を漸近線とする双曲線になります。


a=0の場合でもc0ならば同様の計算が可能です。


a=c=0かつacb2<0となる場合は、
2bxy+2dx+2ey+f=0
b0に注意して変形すると
2b(x+eb)(y+db)=2debfb
となります。

  • 右辺が0のとき、直線x+eb=0と直線y+db=0を合わせた2直線になります。
  • 右辺が0でないとき、点(eb,db)を中心とし、直線x+eb=0と直線y+db=0を漸近線とする双曲線になります。

さらに補足 (ν=0のとき)


a0かつacb2=0となる場合、
a(ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f)=0
を変形すると
(ax+by+d)2=2(bdae)y(afd2)
となります。

  • bdae0のとき、放物線になります。
  • bdae=0,afd2>0のとき、式を満たす(x,y)は存在しません。
  • bdae=0,afd2=0のとき、1直線ax+by+d=0になります。
  • bdae=0,afd2<0のとき、直線ax+by+d=(afd2)と直線ax+by+d=(afd2)を合わせた平行な2直線になります。


a=0の場合でもc0ならば同様の計算が可能です。


a=c=0かつacb2=0となる場合、b=0になるので2次の項がなくなってしまいます。
d0またはe0の場合は直線2dx+2ey+f=0であり、d=e=0の場合は図形を表しません。

参考文献

投稿日:28
更新日:28
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投稿者

工学系物理工学出身のただの社会人です。 数学は趣味のひとつです。どうやら文字計算が好きらしい。 2022年から三角形の幾何学にはまり、重心座標などでいろいろ計算しています。

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