ランダムにとった整数が0以上となる確率

次の問題を考えます：

感覚的に，この問題の答えは$\displaystyle \frac12$になってくれると嬉しいです．そこで，そうなるような意味付けを考えたいです．

$0^0$そのものを定義することができなくても，$\displaystyle \lim_{x \to +0}x^x$を計算することはできます．これと同様のアプローチで，整数$X$をランダムにとることができなくても，$X$の分布を「$(\infty, \infty)$の一様分布（？）」のようなものに近づけることはできるのではないかという考え方です．

問題を次のように言い換えます．

$$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}P(X_n \geq 0) = a$$$$ \displaystyle \lim_{n \to \infty}P(X_n < 0) = b$$とおきます．$n$に関わらず$P(X_n \geq 0) + P(X_n < 0) = 1$なので，$a + b = 1$です．ここで，$\displaystyle \frac a b = 1$が成り立てば，$\displaystyle a = \frac12$がいえそうです．

$$\begin{align} \frac a b &= \lim_{n \to \infty}\frac{P(X_n \geq 0)}{P(X_n < 0)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\displaystyle \sum_{k = 0}^\infty P(X_n = k)}{\displaystyle \sum_{k = -\infty}^{-1} P(X_n = k)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{\displaystyle \sum_{k = 0}^\infty P(X_n = k)}{\displaystyle \sum_{k = 0}^{\infty} P(X_n = -1 - k)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} \frac{\displaystyle \sum_{k = 0}^m P(X_n = k)}{\displaystyle \sum_{k = 0}^m P(X_n = -1 - k)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} \frac{\displaystyle \sum_{k = 0}^m \frac{P(X_n = k)}{P(X_n = 0)}}{\displaystyle \sum_{k = 0}^m \frac{P(X_n = -1 - k)}{P(X_n = 0)}} \\ &= \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} \frac{\displaystyle \sum_{k = 0}^m \frac{P(X_n = k)}{P(X_n = 0)}}{\displaystyle \sum_{k = 0}^m \frac{P(X_n = -1 - k)}{P(X_n = 0)}} \\ &= \lim_{m \to \infty} \frac{\displaystyle \sum_{k = 0}^m 1}{\displaystyle \sum_{k = 0}^m 1} \\ &= \lim_{m \to \infty} 1 \\ &= 1 \end{align}$$

よって$\displaystyle \frac a b = 1$なので，$a = b = \displaystyle\frac12$となります．

「整数$X$をランダムにとったとき，$X \geq 0$となる確率」はこのように言い換えて$\displaystyle \frac12$とみなすことができるのではないでしょうか．