平方剰余物語

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本記事を書いた者はこの分野の専門家では(更に言えば数学科の学生ですら)なく内容の正確性も保証されていないので, 本格的な勉強には然るべき文献を参照して頂き, 本記事は暇つぶし程度に読んでください. 誤りがあったら指摘していただけると幸いです.

平方剰余記号

本記事内では $p, q$ は常に異なる奇素数を表すものとする. 先ず本記事の主役となる記号を定義する.

平方剰余記号

$a$ を $p$ と互いに素な整数とする. このとき平方剰余記号 $(\frac{a}{p})$ を以下のように定義する:
(i) $a \equiv b^{2} \mod p$ なる整数 $b$ が存在するとき $(\frac{a}{p}) = 1$ .
(ii) $a \equiv b^{2} \mod p$ なる整数 $b$ が存在しないとき $(\frac{a}{p}) = - 1$ .

この記号は以下のような性質を持っていることが知られている.

平方剰余記号の性質

$a, b$ を $p$ と互いに素な整数としたとき以下が成立する:
(1) $(\frac{a b}{p}) = (\frac{a}{p}) (\frac{b}{p})$ . (これは $a \mapsto (\frac{a}{p})$ が準同型 $(Z / p Z)^{\times} \to {\pm 1} ≃ Z / 2 Z$ を誘導することを示している.)
(2) $(\frac{- 1}{p}) = (- 1)^{\frac{p - 1}{2}}$ .
(3) $(\frac{2}{p}) = (- 1)^{\frac{p^{2} - 1}{8}}$ .

これらは比較的容易に示せる. 文献としては例えば[Yukie1]の1.11節等を参照せよ.

以上のように定義した平方剰余記号に関して, 次のような非常に深い法則が成立することが知られている. これが所謂「平方剰余相互法則」である.

平方剰余相互法則

$(\frac{p}{q}) (\frac{q}{p}) = (- 1)^{\frac{(p - 1) (q - 1)}{4}}$

本記事ではこの定理に類体論を念頭に置いた証明を与えることを目標としている. 尤も, この定理は類体論を使用しなければ証明できないというわけではなく, 初等的な証明も与えられている. これに関しては[Yukie1]の1.11節等を参照せよ.

大域類体論

ここでは一般的な大域類体論の結果を述べるが, イデールを用いた定式化は採用せず, より扱いやすい古典的なイデアル論による定式化を採用する. 局所類体論についてはこの記事内では不要であるので触れないことにする. 又, 類体論の証明にはある程度の準備が必要であり, それをこの記事に収めることは困難であり且つその必要も無いと考えたので, 類体論の証明も一切触れない.
類体論の証明に関しては[KKS]の8章や[AM]等を参照せよ. 又, [Neu]では純粋に群論的な類体論の証明が与えられている(一般類体論).

記号

混乱が生じないように予め代数体に付随する概念を表す記号を羅列しておく. $K$ は代数体, $L$ は $K$ の有限次拡大体, $p_{K}$ は $K$ の素イデアル, $p_{L}$ は $p_{K}$ の上にある $L$ の素イデアルとする.

$O_{K}$ : $K$ の整数環
$M_{fin}^{K}$ : $K$ の有限素点全体の集合
$M_{\infty}^{K}$ : $K$ の無限素点全体の集合
$M^{K} := M_{fin}^{K} \cup M_{\infty}^{K}$ : $K$ の素点全体の集合
$κ (p_{K}) := O_{K} / p_{K}$ : $p_{K}$ の剰余類体
$I_{K}$ : $K$ の分数イデアル群
$N_{L / K} : I_{L} \to I_{K}$ ：イデアルノルム写像
$e_{p_{L} / p_{K}}$ : 分岐指数
$f_{p_{L} / p_{K}}$ : 相対次数
又, 虚無限素点は実無限素点上常に分岐しているとする.

代数的整数論からの準備

先ず, 整因子という概念を定義する (この術語は[AM]に倣ったものである). これは通常のイデアルを拡張して「無限素点成分を持つイデアル」を形式的に定めたようなものである.

整因子

代数体 $K$ の整因子とは, 有限個の素点(無限素点含む)の形式的な冪積である. 即ち $m$ が整因子であるのは, 有限素点全体で添え字付けられた有限個を除いて0である非負整数列 $(a_{p})_{p \in M_{fin}^{K}}$ と無限素点全体(これは有限個である)で添え字付けられた0と1からなる整数列 $(b_{p_{\infty}})_{p_{\infty} \in M_{\infty}^{K}}$ を用いて
$m = \prod_{p \in M_{fin}^{K}} p^{a_{p}} \prod_{p_{\infty} \in M_{\infty}^{K}} p_{\infty}^{b_{p_{\infty}}}$
と表されるときである. 又, 上のように定義された整因子 $m$ に対して, $\prod_{p \in M_{fin}^{K}} p^{a_{p}}, \prod_{p_{\infty} \in M_{\infty}^{K}} p_{\infty}^{b_{p_{\infty}}}$ を其々 $m$ の有限成分, 無限成分と呼び, $m_{fin}, m_{\infty}$ で表す. 整因子の有限成分は $K$ の整イデアルと見做せる.

次に整因子から定まる $I_{K}$ の部分群を幾つか定義する. これは類体論に於いて重要な役割を果たす群である.

整因子 $m$ に対して, $I_{K}$ の部分群 $I_{K}^{m}$ を $m_{fin}$ と素な分数イデアル全ての成す群とする. 又, $P_{K}^{m}$ を
$P_{K}^{m} := {(a) = a O_{K} ∣ a \equiv 1 \mod m}$
と定める. ここで $a \equiv 1 \mod m$ の意味は以下に説明する通りである. 更に, ${Cl}_{K}^{m} := I_{K}^{m} / P_{K}^{m}$ と定め, この群を $\mod m$ の射類群と呼ぶ.

$a \in K$ が $m$ を法として1と合同であるとは以下の二条件が満たされること:
(i) 或る $b, c \in O_{K}$ で $b, c \equiv 1 \mod m_{fin}$ 且つ $a = b / c$ を満たすものが存在する.
(ii) $m_{\infty}$ の因子として現れる全ての実無限素点(即ち実埋込) $φ : K ↪ R$ に対して $φ (a) > 0$

射類群

$K = Q$ のとき, $m = m \infty$ (これは $m$ の有限成分が $m Z$ で無限成分が $Q$ の唯一の無限素点であることを表している.)とすると ${Cl}_{K}^{m} ≃ (Z / m Z)^{\times}$ である.

今, $L / K$ を有限次Galois拡大とし, $K$ の整因子 $m$ と互いに素な $L$ の分数イデアル全体の成す群を $I_{L}^{m}$ と表し, 新たな群 $H_{L / K}^{m}$ を
$H_{L / K}^{m} := (N_{L / K} (I_{L}^{m})) P_{K}^{m}$
と定義する. これは $P_{K}^{m}$ を含む $I_{K}^{m}$ の部分群である.
これで大域類体論を主張する準備が整った. 以下に類体論の主張を示す.

大域類体論

$K$ の整因子 $m$ を固定したとき, 任意の $P_{K}^{m} \subseteq H \subseteq I_{K}^{m}$ なる部分群 $H$ に対して或る有限次Abel拡大 $L / K$ が一意に存在して $H = H_{L / K}^{m}$ となる.
逆に $L / K$ が有限次Abel拡大であるとき, 或る(一意とは限らない) $K$ の整因子 $m$ が存在して
$Gal (L / K) ≃ I_{K}^{m} / H_{L / K}^{m}$
が成立する. ここで $L / K$ に於いて分岐する $K$ の素点は全て $m$ を割る.

これに付随して射類体という重要な概念が定義できる. これは $Q$ に対する円分体のようなものである.

射類体

$K$ の整因子 $m$ を取り, 上の定理に於ける $H$ として $H = P_{K}^{m}$ を取ったとき, これに対応する $K$ のAbel拡大を $K$ の $m$ に関する射類体と呼び, $K^{m}$ で表す.

次の命題は射類体の基本的な性質であるが, これらは類体論の主張から明らかである.

$K$ の任意の有限次Abel拡大 $L$ は, 或る整因子 $m$ に関する射類体 $K^{m}$ に含まれる.
$Gal (K^{m} / K) ≃ {Cl}_{K}^{m}$ が成立する.

Q

上の射類体

$K = Q$ とし, $m = m \infty$ としたとき, $K^{m} = Q (ζ_{m})$ である(但し $ζ_{m}$ は $1$ の原始 $m$ 乗根であるとする). この場合上述命題の(1)はKronecker-Weberの定理に他ならない. 又, $Gal (Q (ζ_{m}) / Q) ≃ {Cl}_{K}^{m} ≃ (Z / m Z)^{\times}$ も有名な事実である. 2次体の場合にもう少し精密な記述をする. $m$ が平方因子を持たない整数であるとき, $L = Q (\sqrt{m})$ は $Q$ のAbel拡大である為, 或る整因子に関する射類体に含まれるが, このような整因子として
$m = {\begin{cases} m \infty & (m \equiv 1 \mod 4) \\ 4 m \infty & (m \equiv 2, 3 \mod 4) \end{cases}$
と取れることが知られている. 以上で見た通り, $Q$ に於ける状況は比較的わかりやすいが, 一般の代数体の射類体は $Q$ 上の射類体のように簡単に計算することはできない.

最後の同型 $Gal (L / K) ≃ I_{K}^{m} / H_{L / K}^{m}$ がどのように与えられているかをこれから記述するが, その前に幾つかの準備をする. $I_{K}^{m}$ は $m$ と互いに素な素イデアルの類で生成されるので, このような素イデアルと対応するGalois群(ここでは仮定からAbel群であることに注意)の元を定めればこの写像は定まる. 以下, 暫くの間 $p$ を $m$ と互いに素な $K$ の素イデアルとして固定する. $L / K$ に於いて分岐する素イデアルは $m$ を割るので, $p$ は $L / K$ に於いて不分岐である. 先ず, 幾つか群を定義しよう. $P$ を $p$ の上にある $L$ の素イデアルとして一つ固定する. このとき, 以下のように $Gal (L / K)$ の部分群を定める(この群の定義に於いて $P / p$ の不分岐性の仮定は不要である):
$D (P / p) := {σ \in Gal (L / K) ∣ σ P = P}$
$I (P / p) := {σ \in D (P / p) ∣ \forall x \in O_{L}, σ x - x \in P}$
$D (P / p), I (P / p)$ を其々 $P / p$ の分解群, 惰性群と呼ぶ.
以下の定理はHilbertの分岐理論の一部である.

$P / p$ が不分岐なとき(従って今の状況では常に), $I (P / p) = 1$ となる.
$σ \in D (P / p) / I (P / p)$ は自然に $κ (p)$ 同型 $κ (P) \to κ (P)$ を誘導し, これによって同型
$D (P / p) / I (P / p) ≃ Gal (κ (P) / κ (p))$
が誘導される.

[Yukie2] 1.4節を参照せよ.

今, $P / p$ は不分岐であったので上の命題は次のことを意味している.

$I (P / p) = 1$ .
$σ \in D (P / p)$ は自然に $κ (p)$ 同型 $κ (P) \to κ (P)$ を誘導し, これによって同型
$D (P / p) ≃ Gal (κ (P) / κ (p))$
が誘導される.

ここで $κ (P) / κ (p)$ は有限体の有限次拡大である, 更に言うと $f_{P / p}$ 次拡大であるので巡回拡大である. 従って $Gal (κ (P) / κ (p))$ はFrobenius自己同型が生成元となる巡回群である. 上の系の同型 $D (P / p) ≃ Gal (κ (P) / κ (p))$ を通して $κ (P / p)$ のFrobenius自己同型を $D (P / p) \subseteq Gal (L / K)$ の元に持ち上げることが出来る. このようにして $Gal (L / K)$ に持ち上げた元を仮に $φ$ と表すと, これは $P$ には依存せず $p$ のみに依存する. 何故なら $p$ 上の別の素イデアル $P^{'}$ を選択したとき, これに対応するFrobenius自己同型の持ち上げは $P^{'} = σ P$ となる $σ$ を用いて $σ φ σ^{- 1}$ と表せる(この事実の証明は難しくない.)が, $Gal (L / K)$ が可換であるという仮定からこれは結局 $φ$ に他ならないことが分かるからである. これによって $φ$ は $p$ を定めれば一意に定まることが分かり, これを $p$ に関する $L / K$ のFrobenius自己同型と呼び, $(\frac{L / K}{p})$ と表す. $(\frac{L / K}{p})$ は以下のような特徴付けをすることも可能である.

$q := # κ (P / p)$ とすると $(\frac{L / K}{p})$ は以下の条件を満たすような $Gal (L / K)$ の元 $φ$ として一意に定まる:
(条件) 任意の $x \in O_{L}$ に対して $φ a \equiv a^{q} \mod p O_{L}$

[KKS] 命題6.29を参照せよ.

ここまで来て漸く類体論の主張する同型 $Gal (L / K) ≃ I_{K}^{m} / H_{L / K}^{m}$ の具体的な記述を与えることが出来る.

Artin相互律

上述の類体論の主定理の状況に於いて $I_{K}^{m} / H_{L / K}^{m} \to Gal (L / K)$ という同型は $p \in I_{K}^{m}$ の類を $(\frac{L / K}{p})$ へと送ることで得られる. (Frobeniusと素イデアルの対応)

[Neu] VI.(7.2)或いは[AM] 定理3.3.2を参照せよ.

又, 分解群と惰性群の不変体は其々分解群 $K_{D}$ , 惰性体 $K_{I}$ と呼ばれ, 以下のような性質を持つ. これもHilbertの分岐理論の一部である.

$O_{L}$ のイデアル $p O_{L}$ を素イデアル分解するとその素因子に $g_{P / p}$ 個の異なる素イデアルが出てくるとする. 又, $P_{D} := P \cap O_{K_{D}}, P := P \cap O_{K_{I}}$ を考えることで素イデアルの列
$p \subseteq P_{D} \subseteq P_{I} \subseteq P$
が得られ, ここに出てくる其々の素イデアルの拡大に関する分岐指数 $e$ , 相対次数 $f$ , 上の体で素イデアル分解したときに出現する異なる素イデアルの数 $g$ は以下のように表される.
$K \underset{\begin{matrix} e = 1 \\ f = 1 \\ g = g_{P / p} \end{matrix}}{⟶} K_{D} \underset{\begin{matrix} e = 1 \\ f = f_{P / p} \\ g = 1 \end{matrix}}{⟶} K_{I} \underset{\begin{matrix} e = e_{P / p} \\ f = 1 \\ g = 1 \end{matrix}}{⟶} L$
即ち言葉で表現すると, 「 $K$ の素イデアルは $K_{D} / K$ で分解し終わり, $K_{I} / K_{D}$ で剰余類体の拡大が終わり, $L / K_{I}$ で分岐する」と言える.

[Neu] I.(9.3),(9.6)或いは[Yukie2] 1.4節を参照せよ.

系として, 以下のようなことも分かる

$L / K$ の中間体 $M$ が $K_{D}$ に含まれるなら, $P_{M} := P \cap O_{M}$ の $p$ 上の分岐指数, 相対次数は1である.
$L / K$ の中間体 $M$ が $K_{I}$ に含まれるなら, $P_{M} := P \cap O_{M}$ の $p$ 上の分岐指数は1である, 即ち不分岐である.

平方剰余相互法則

では愈々本題たる平方剰余相互法則に取り掛かろう. 先ず「 $q$ は $\mod p$ で平方剰余である」という主張を代数的整数論の術語で言い換えたい. これは聊か乱暴な言葉で言えば即ち「 $\sqrt{q} \in F_{p}$ か？」ということであるから, $Q (\sqrt{q})$ を考察の対象にすることは甚だ不自然なことでもないだろう. ここで $q$ は奇素数なので4を法として1又は3と合同であるが, 例2でも見たように両者は若干異なった扱いが必要とされている. このような場合分けを回避するために $q^{*} := (- 1)^{\frac{q - 1}{2}} q$ という整数を考察する. $q^{*}$ は常に1と合同であり, 命題1(2)を利用すれば-1倍は常に解消できるので結局 $(\frac{q}{p})$ の値を求めることは $(\frac{q^{*}}{p})$ の値を求めることに帰着される. 具体的に記述すると,
$(\frac{q^{*}}{p}) = {(\frac{- 1}{p})}^{\frac{q - 1}{2}} (\frac{q}{p}) = (- 1)^{\frac{(p - 1) (q - 1)}{4}} (\frac{q}{p})$
である. 以下, $K = Q (\sqrt{q^{*}})$ とし, $Q$ の素イデアル $p Z$ の上にある $K$ の素イデアルを $P$ と置く( $p Z$ は $K$ に於いて不分岐であることに注意). $K$ の整数環は $O_{K} = Z [\sqrt{q^{*}}]$ であり, $κ (P)$ は $κ (p Z) = F_{p}$ に $X^{2} - q^{*}$ の根を添加した体である. 平方剰余であるか非剰余であるかを知るにはここを見ればよい. 正確に言うと, $(\frac{q^{*}}{p}) = 1$ であることは $X^{2} - q^{*}$ が $F_{p}$ に根を持つ, 即ち $κ (P) = F_{p}$ であることと同値である. これはまた $f_{P / p Z} = 1$ とも同値である. 逆に $(\frac{q^{*}}{p}) = - 1$ であることは $f_{P / p Z} = 2$ であることと同値である. これによって平方剰余であるか否かという問題を代数的整数論で扱いやすい形に言い換えることが出来た: 「 $(\frac{q^{*}}{p}) = 1$ $\Leftrightarrow$ $f_{P / p Z} = 1$ 」

以上より, これから展開すべきは相対次数に関する議論であるが, ここれ類体論を利用して更に議論を深めてゆく. 前に述べた通り $K$ を含む射類体として $m = q^{*} \infty = q \infty$ に関する射類体が取れるが, これは $q$ 分体 $Q (ζ_{q})$ に他ならない. 又, この $q$ 分体の $Q$ 上のGalois群は $(Z / q Z)^{\times} ≃ Z / (q - 1) Z$ と同型である.
ここで目標となる命題を明示しておこう.

$f$ を $p^{f} \equiv 1 \mod q$ となる最小の自然数としたとき,
$f_{P / p Z} = 1 \Leftrightarrow f ∣ \frac{q - 1}{2}$

この命題を示す前に如何にしてこの命題から平方剰余相互法則が導かれるかを示しておこう. 左辺が $(\frac{q^{*}}{p}) = 1$ と同値であることは既に確認した. 右辺は $p^{\frac{q - 1}{2}} \equiv 1 \mod q$ と同値であり, これは即ち $(Z / q Z)^{\times} ≃ Z / (q - 1) Z$ に於いて $p^{\frac{q - 1}{2}} = 1$ であることに他ならない. 巡回群の性質よりこの条件は $p \in (Z / q Z)^{\times 2} = {a^{2} ∣ a \in (Z / q Z)^{\times}}$ と同値であるが, これは $p$ が $q$ を法として平方剰余であることを意味している. 従って定理9が示せれば以下の系が導かれることになる.

平方剰余相互法則

$(\frac{q^{*}}{p}) = 1 \Leftrightarrow (\frac{p}{q}) = 1$

では早速定理9の証明に取り掛かろう. $P$ の上にある $Q (ζ_{q})$ の素イデアル $P^{'}$ を一つ取り固定しておく.

類体論より
$Gal (K / Q) ≃ I_{Q}^{m} / H_{K / Q}^{m}$
であり, 更に
$Gal (Q (ζ_{q}) / Q) ≃ I_{Q}^{m} / P_{Q}^{m}$
となる. ここで $P_{Q}^{m}$ は定義より

$P_{Q}^{m} = {a Z ∣ a = b / c > 0 (b, c \in Z, b, c \equiv 1 \mod q)}$
であるが, これより $f$ の定義から $f$ は $I_{Q}^{m} / P_{Q}^{m}$ に於ける $p Z$ の類の位数であることが分かる. ここで上の同型 $Gal (Q (ζ_{q}) / Q) ≃ I_{Q}^{m} / P_{Q}^{m}$ を通して $p Z$ の類に対応するGalois群の元は $p Z$ のFrobeniusであるが, これは同型 $D (P^{'} / p Z) ≃ Gal (κ (P^{'}) / κ (p Z))$ を通して $κ (P^{'}) / κ (p Z) = F_{p}$ のFrobenius自己同型に対応する元である. 従って $f$ は $κ (P^{'}) / F_{p}$ のFrobenius自己同型の位数, 即ち $κ (P^{'}) / F_{p}$ の拡大次数に等しいが, これは相対次数の定義より $f_{P^{'} / p Z}$ に他ならない.

先ず $f_{P / p Z} = 1$ を仮定する. このとき $f_{P^{'} / P} f_{P / p Z} = f_{P^{'} / p Z}$ であるので $f_{P^{'} / P} = f$ である. 一方, $[Q (ζ_{q}) : Q] = q - 1, [K : Q] = 2$ から $[Q (ζ_{q}) : K] = \frac{q - 1}{2}$ であることが分かる. $P$ の $Q (ζ_{q}) / K$ に於ける相対次数はこれの拡大次数の約数でなければならないので $f ∣ \frac{q - 1}{2}$ が分かる.

逆に $f ∣ \frac{q - 1}{2}$ を仮定する. これは $2 ∣ \frac{q - 1}{f}$ と同値であり, ここで $\frac{q - 1}{f}$ は惰性群の指数 $(Gal (Q (ζ_{q}) / Q) : D (P^{'} / p Z))$ に等しいことが命題8より分かる. 従って仮定は $P^{'} / p Z$ の惰性体 $Q_{D}$ の $Q$ 上の拡大次数が偶数であることを主張している. 又, $K / Q$ は2次拡大であることより $[Q (ζ_{q}) : Q_{D}]$ は $[Q (ζ_{q}) : K]$ の約数である. ここで $Gal (Q (ζ_{q}) / Q)$ が巡回群であることを考えると, $Gal (Q (ζ_{q}) / Q_{D})$ は $Gal (Q (ζ_{q}) / K)$ の部分群でなければならず, 従って $K \subseteq Q_{D}$ である. これと命題8の系(1)より $f_{P / p Z} = 1$ が導かれる.