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平方剰余物語

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本記事を書いた者はこの分野の専門家では(更に言えば数学科の学生ですら)なく内容の正確性も保証されていないので, 本格的な勉強には然るべき文献を参照して頂き, 本記事は暇つぶし程度に読んでください. 誤りがあったら指摘していただけると幸いです.

平方剰余記号

本記事内ではp,qは常に異なる奇素数を表すものとする. 先ず本記事の主役となる記号を定義する.

平方剰余記号

apと互いに素な整数とする. このとき平方剰余記号(ap)を以下のように定義する:
(i) ab2modpなる整数bが存在するとき(ap)=1.
(ii) ab2modpなる整数bが存在しないとき(ap)=1.

この記号は以下のような性質を持っていることが知られている.

平方剰余記号の性質

a,bpと互いに素な整数としたとき以下が成立する:
(1)(abp)=(ap)(bp). (これはa(ap)が準同型(Z/pZ)×{±1}Z/2Zを誘導することを示している.)
(2)(1p)=(1)p12.
(3)(2p)=(1)p218.

これらは比較的容易に示せる. 文献としては例えば[Yukie1]の1.11節等を参照せよ.

以上のように定義した平方剰余記号に関して, 次のような非常に深い法則が成立することが知られている. これが所謂「平方剰余相互法則」である.

平方剰余相互法則

(pq)(qp)=(1)(p1)(q1)4

本記事ではこの定理に類体論を念頭に置いた証明を与えることを目標としている. 尤も, この定理は類体論を使用しなければ証明できないというわけではなく, 初等的な証明も与えられている. これに関しては[Yukie1]の1.11節等を参照せよ.

大域類体論

ここでは一般的な大域類体論の結果を述べるが, イデールを用いた定式化は採用せず, より扱いやすい古典的なイデアル論による定式化を採用する. 局所類体論についてはこの記事内では不要であるので触れないことにする. 又, 類体論の証明にはある程度の準備が必要であり, それをこの記事に収めることは困難であり且つその必要も無いと考えたので, 類体論の証明も一切触れない.
類体論の証明に関しては[KKS]の8章や[AM]等を参照せよ. 又, [Neu]では純粋に群論的な類体論の証明が与えられている(一般類体論).

記号

混乱が生じないように予め代数体に付随する概念を表す記号を羅列しておく. Kは代数体, LKの有限次拡大体, pKKの素イデアル, pLpKの上にあるLの素イデアルとする.

  • OK: Kの整数環
  • MfinK: Kの有限素点全体の集合
  • MK: Kの無限素点全体の集合
  • MK:=MfinKMK: Kの素点全体の集合
  • κ(pK):=OK/pK: pKの剰余類体
  • IK: Kの分数イデアル群
  • NL/K:ILIK:イデアルノルム写像
  • epL/pK: 分岐指数
  • fpL/pK: 相対次数
    又, 虚無限素点は実無限素点上常に分岐しているとする.

代数的整数論からの準備

先ず, 整因子という概念を定義する (この術語は[AM]に倣ったものである). これは通常のイデアルを拡張して「無限素点成分を持つイデアル」を形式的に定めたようなものである.

整因子

代数体K整因子とは, 有限個の素点(無限素点含む)の形式的な冪積である. 即ちmが整因子であるのは, 有限素点全体で添え字付けられた有限個を除いて0である非負整数列(ap)pMfinKと無限素点全体(これは有限個である)で添え字付けられた0と1からなる整数列(bp)pMKを用いて
m=pMfinKpappMKpbp
と表されるときである. 又, 上のように定義された整因子mに対して, pMfinKpap,pMKpbpを其々m有限成分, 無限成分と呼び, mfin,mで表す. 整因子の有限成分はKの整イデアルと見做せる.

次に整因子から定まるIKの部分群を幾つか定義する. これは類体論に於いて重要な役割を果たす群である.

整因子mに対して, IKの部分群IKmmfinと素な分数イデアル全ての成す群とする. 又, PKm
PKm:={(a)=aOKa1modm}
と定める. ここでa1modmの意味は以下に説明する通りである. 更に, ClKm:=IKm/PKmと定め, この群をmodmの射類群と呼ぶ.

aKmを法として1と合同であるとは以下の二条件が満たされること:
(i) 或るb,cOKb,c1modmfin且つa=b/cを満たすものが存在する.
(ii) mの因子として現れる全ての実無限素点(即ち実埋込)φ:KRに対してφ(a)>0

射類群

K=Qのとき, m=m(これはmの有限成分がmZで無限成分がQの唯一の無限素点であることを表している.)とするとClKm(Z/mZ)×である.

今, L/Kを有限次Galois拡大とし, Kの整因子mと互いに素なLの分数イデアル全体の成す群をILmと表し, 新たな群HL/Km
HL/Km:=(NL/K(ILm))PKm
と定義する. これはPKmを含むIKmの部分群である.
これで大域類体論を主張する準備が整った. 以下に類体論の主張を示す.

大域類体論
  1. Kの整因子mを固定したとき, 任意のPKmHIKmなる部分群Hに対して或る有限次Abel拡大L/Kが一意に存在してH=HL/Kmとなる.
  2. 逆にL/Kが有限次Abel拡大であるとき, 或る(一意とは限らない)Kの整因子mが存在して
    Gal(L/K)IKm/HL/Km
    が成立する. ここでL/Kに於いて分岐するKの素点は全てmを割る.

これに付随して射類体という重要な概念が定義できる. これはQに対する円分体のようなものである.

射類体

Kの整因子mを取り, 上の定理に於けるHとしてH=PKmを取ったとき, これに対応するKのAbel拡大をKmに関する射類体と呼び, Kmで表す.

次の命題は射類体の基本的な性質であるが, これらは類体論の主張から明らかである.

  1. Kの任意の有限次Abel拡大Lは, 或る整因子mに関する射類体Kmに含まれる.
  2. Gal(Km/K)ClKmが成立する.
Q上の射類体

K=Qとし, m=mとしたとき, Km=Q(ζm)である(但しζm1の原始m乗根であるとする). この場合上述命題の(1)はKronecker-Weberの定理に他ならない. 又, Gal(Q(ζm)/Q)ClKm(Z/mZ)×も有名な事実である. 2次体の場合にもう少し精密な記述をする. mが平方因子を持たない整数であるとき, L=Q(m)QのAbel拡大である為, 或る整因子に関する射類体に含まれるが, このような整因子として
m={m(m1mod4)4m(m2,3mod4)
と取れることが知られている. 以上で見た通り, Qに於ける状況は比較的わかりやすいが, 一般の代数体の射類体はQ上の射類体のように簡単に計算することはできない.

最後の同型Gal(L/K)IKm/HL/Kmがどのように与えられているかをこれから記述するが, その前に幾つかの準備をする. IKmmと互いに素な素イデアルの類で生成されるので, このような素イデアルと対応するGalois群(ここでは仮定からAbel群であることに注意)の元を定めればこの写像は定まる. 以下, 暫くの間pmと互いに素なKの素イデアルとして固定する. L/Kに於いて分岐する素イデアルはmを割るので, pL/Kに於いて不分岐である. 先ず, 幾つか群を定義しよう. Ppの上にあるLの素イデアルとして一つ固定する. このとき, 以下のようにGal(L/K)の部分群を定める(この群の定義に於いてP/pの不分岐性の仮定は不要である):
D(P/p):={σGal(L/K)σP=P}
I(P/p):={σD(P/p)xOL,σxxP}
D(P/p),I(P/p)を其々P/p分解群, 惰性群と呼ぶ.
以下の定理はHilbertの分岐理論の一部である.

  1. P/pが不分岐なとき(従って今の状況では常に), I(P/p)=1となる.
  2. σD(P/p)/I(P/p)は自然にκ(p)同型κ(P)κ(P)を誘導し, これによって同型
    D(P/p)/I(P/p)Gal(κ(P)/κ(p))
    が誘導される.

[Yukie2] 1.4節を参照せよ.

今, P/pは不分岐であったので上の命題は次のことを意味している.

  1. I(P/p)=1.
  2. σD(P/p)は自然にκ(p)同型κ(P)κ(P)を誘導し, これによって同型
    D(P/p)Gal(κ(P)/κ(p))
    が誘導される.

ここでκ(P)/κ(p)は有限体の有限次拡大である, 更に言うとfP/p次拡大であるので巡回拡大である. 従ってGal(κ(P)/κ(p))はFrobenius自己同型が生成元となる巡回群である. 上の系の同型D(P/p)Gal(κ(P)/κ(p))を通してκ(P/p)のFrobenius自己同型をD(P/p)Gal(L/K)の元に持ち上げることが出来る. このようにしてGal(L/K)に持ち上げた元を仮にφと表すと, これはPには依存せずpのみに依存する. 何故ならp上の別の素イデアルPを選択したとき, これに対応するFrobenius自己同型の持ち上げはP=σPとなるσを用いてσφσ1と表せる(この事実の証明は難しくない.)が, Gal(L/K)が可換であるという仮定からこれは結局φに他ならないことが分かるからである. これによってφpを定めれば一意に定まることが分かり, これをpに関するL/KのFrobenius自己同型と呼び, (L/Kp)と表す. (L/Kp)は以下のような特徴付けをすることも可能である.

q:=#κ(P/p)とすると(L/Kp)は以下の条件を満たすようなGal(L/K)の元φとして一意に定まる:
(条件) 任意のxOLに対してφaaqmodpOL

[KKS] 命題6.29を参照せよ.

ここまで来て漸く類体論の主張する同型Gal(L/K)IKm/HL/Kmの具体的な記述を与えることが出来る.

Artin相互律

上述の類体論の主定理の状況に於いてIKm/HL/KmGal(L/K)という同型はpIKmの類を(L/Kp)へと送ることで得られる. (Frobeniusと素イデアルの対応)

[Neu] VI.(7.2)或いは[AM] 定理3.3.2を参照せよ.

又, 分解群と惰性群の不変体は其々分解群KD, 惰性体KIと呼ばれ, 以下のような性質を持つ. これもHilbertの分岐理論の一部である.

OLのイデアルpOLを素イデアル分解するとその素因子にgP/p個の異なる素イデアルが出てくるとする. 又, PD:=POKD,P:=POKIを考えることで素イデアルの列
pPDPIP
が得られ, ここに出てくる其々の素イデアルの拡大に関する分岐指数e, 相対次数f, 上の体で素イデアル分解したときに出現する異なる素イデアルの数gは以下のように表される.
Ke=1f=1g=gP/pKDe=1f=fP/pg=1KIe=eP/pf=1g=1L
即ち言葉で表現すると, 「Kの素イデアルはKD/Kで分解し終わり, KI/KDで剰余類体の拡大が終わり, L/KIで分岐する」と言える.

[Neu] I.(9.3),(9.6)或いは[Yukie2] 1.4節を参照せよ.

系として, 以下のようなことも分かる

  1. L/Kの中間体MKDに含まれるなら, PM:=POMp上の分岐指数, 相対次数は1である.
  2. L/Kの中間体MKIに含まれるなら, PM:=POMp上の分岐指数は1である, 即ち不分岐である.

平方剰余相互法則

では愈々本題たる平方剰余相互法則に取り掛かろう. 先ず「qmodpで平方剰余である」という主張を代数的整数論の術語で言い換えたい. これは聊か乱暴な言葉で言えば即ち「qFpか?」ということであるから, Q(q)を考察の対象にすることは甚だ不自然なことでもないだろう. ここでqは奇素数なので4を法として1又は3と合同であるが, 例2でも見たように両者は若干異なった扱いが必要とされている. このような場合分けを回避するためにq:=(1)q12qという整数を考察する. qは常に1と合同であり, 命題1(2)を利用すれば-1倍は常に解消できるので結局(qp)の値を求めることは(qp)の値を求めることに帰着される. 具体的に記述すると,
(qp)=(1p)q12(qp)=(1)(p1)(q1)4(qp)
である. 以下, K=Q(q)とし, Qの素イデアルpZの上にあるKの素イデアルをPと置く(pZKに於いて不分岐であることに注意). Kの整数環はOK=Z[q]であり, κ(P)κ(pZ)=FpX2qの根を添加した体である. 平方剰余であるか非剰余であるかを知るにはここを見ればよい. 正確に言うと, (qp)=1であることはX2qFpに根を持つ, 即ちκ(P)=Fpであることと同値である. これはまたfP/pZ=1とも同値である. 逆に(qp)=1であることはfP/pZ=2であることと同値である. これによって平方剰余であるか否かという問題を代数的整数論で扱いやすい形に言い換えることが出来た: 「(qp)=1 fP/pZ=1

以上より, これから展開すべきは相対次数に関する議論であるが, ここれ類体論を利用して更に議論を深めてゆく. 前に述べた通りKを含む射類体としてm=q=qに関する射類体が取れるが, これはq分体Q(ζq)に他ならない. 又, このq分体のQ上のGalois群は(Z/qZ)×Z/(q1)Zと同型である.
ここで目標となる命題を明示しておこう.

fpf1modqとなる最小の自然数としたとき,
fP/pZ=1fq12

この命題を示す前に如何にしてこの命題から平方剰余相互法則が導かれるかを示しておこう. 左辺が(qp)=1と同値であることは既に確認した. 右辺はpq121modqと同値であり, これは即ち(Z/qZ)×Z/(q1)Zに於いてpq12=1であることに他ならない. 巡回群の性質よりこの条件はp(Z/qZ)×2={a2a(Z/qZ)×}と同値であるが, これはpqを法として平方剰余であることを意味している. 従って定理9が示せれば以下の系が導かれることになる.

平方剰余相互法則

(qp)=1(pq)=1

では早速定理9の証明に取り掛かろう. Pの上にあるQ(ζq)の素イデアルPを一つ取り固定しておく.

類体論より
Gal(K/Q)IQm/HK/Qm
であり, 更に
Gal(Q(ζq)/Q)IQm/PQm
となる. ここでPQmは定義より

PQm={aZa=b/c>0(b,cZ,b,c1modq)}
であるが, これよりfの定義からfIQm/PQmに於けるpZの類の位数であることが分かる. ここで上の同型Gal(Q(ζq)/Q)IQm/PQmを通してpZの類に対応するGalois群の元はpZのFrobeniusであるが, これは同型D(P/pZ)Gal(κ(P)/κ(pZ))を通してκ(P)/κ(pZ)=FpのFrobenius自己同型に対応する元である. 従ってfκ(P)/FpのFrobenius自己同型の位数, 即ちκ(P)/Fpの拡大次数に等しいが, これは相対次数の定義よりfP/pZに他ならない.

先ずfP/pZ=1を仮定する. このときfP/PfP/pZ=fP/pZであるのでfP/P=fである. 一方, [Q(ζq):Q]=q1,[K:Q]=2から[Q(ζq):K]=q12であることが分かる. PQ(ζq)/Kに於ける相対次数はこれの拡大次数の約数でなければならないのでfq12が分かる.

逆にfq12を仮定する. これは2q1fと同値であり, ここでq1fは惰性群の指数(Gal(Q(ζq)/Q):D(P/pZ))に等しいことが命題8より分かる. 従って仮定はP/pZの惰性体QDQ上の拡大次数が偶数であることを主張している. 又, K/Qは2次拡大であることより[Q(ζq):QD][Q(ζq):K]の約数である. ここでGal(Q(ζq)/Q)が巡回群であることを考えると, Gal(Q(ζq)/QD)Gal(Q(ζq)/K)の部分群でなければならず, 従ってKQDである. これと命題8の系(1)よりfP/pZ=1が導かれる.

参考文献

  • [AM] 足立恒雄, 三宅克哉, 『類体論講義』, 日本評論社, 1998
  • [KKS] 加藤和也, 黒川信重, 斎藤毅, 『数論I』, 岩波書店, 2005
  • [Neu] J. Neukirch, 『代数的整数論』, 丸善出版, 2012
  • [Yukie1] 雪江明彦,『整数論1』, 日本評論社, 2013
  • [Yukie2] 雪江明彦,『整数論2』, 日本評論社, 2013
  • [Yukie3] 雪江明彦,『整数論3』, 日本評論社, 2014
投稿日:20201121
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