幾何問題(2)

幾何の問題を出します。ぜひ解いてください！
簡単かもです。

問題

問題
$\mathrm{△}ABC$があり、内接円を$\mathrm{\Gamma }$の中心を$O$とする。
$\mathrm{\Gamma }$と$\mathrm{△}ABC$の$3$つの接点と$O$を直径とする円を書き、$2$つの円の交点を上のように$A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$とすると、

• $A,A^{\prime },O$は一直線上にあること
• $A{A}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$となること

を示せ。