幾何問題(2)を解いてみるよ

はじめに

kozy の幾何問題(2) を解いてみるだけです.

問題

元の問題とはアルファベットの割り当てが大きく変わっています.
こちらのミスですが注意してください.

幾何問題(2) (表現変更))

$△ A B C$ において,この三角形の内接円 $Γ$ と $A B, B C, A C$ の接点 $D, E, F$ と $Γ$ の中心 $O$ を直径とする円 $X, Y, Z$ を書き,
$X, Y$ の $O$ と異なる交点を $A^{'}$
$Y, Z$ の $O$ と異なる交点を $C^{'}$
$X, Z$ の $O$ と異なる交点を $B^{'}$
とおくとき,
(1) $B, A^{'}, O$ は同一直線上にあることを示せ.
(2) 直線 $A^{'}, O$ と $B^{'} C^{'}$ は直交することを示せ.
図1

解答

(1)について

$△ O A^{'} D, △ O A^{'} E$ において
明らかに $O D = O E$ であって,
円周角の定理より $∠ O A^{'} D = ∠ O A^{'} E = 90^{\circ}$ であり, $O A^{'}$ が共通だから
$△ O A^{'} D \equiv △ O A^{'} E$ (ニ辺他一辺相等)であり, $D A^{'} = E A^{'}$ が成立する.
これと $B D = B E$ , $A^{'} B$ が共通であることから,
$△ A^{'} B D \equiv △ A^{'} B E$ (三辺相等)から $∠ B A^{'} D = ∠ B A^{'} E$ で,
$D, A^{'}, E$ が同一直線上にあることから $∠ B A^{'} D = ∠ B A^{'} E = 90^{\circ}$
であるから, $∠ B A^{'} E + ∠ O A^{'} E = 180^{\circ}$ から $B, A^{'}, O$ は同一直線上にある.

(2)について

(1)より示すべきものは $A^{'} O ⊥ B^{'} C^{'}$
$C^{'} O$ が共通, $O F = O D$ , $∠ O C^{'} D = ∠ O C^{'} F = 90^{\circ}$ より $△ O C^{'} D \equiv △ O C^{'} F$ (ニ辺他一辺相等)から
$D F$ の中点が $C^{'}$ である.同様に
$E F$ の中点が $B^{'}$ である.
中点連結定理より $D E / / C^{'} B^{'}$ であり,
明らかに $D E ⊥ A^{'} O$ から
$A^{'} O ⊥ B^{'} C^{'}$ である.よって題意は示された.