級数解説01

2020/10/30に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1322141430404456450?s=21

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{H_nH_{n-1}}{n^2}\\ &=& \sum_{n=1}^\infty \frac{(H_{n-1}+\frac1n)H_{n-1}}{n^2}\\ &=&\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{n-1}^2}{n^2}+\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{n-1}}{n^3}\\ &=&\sum_{0 < a,b < n} \frac{1}{abn^2}+\sum_{0 < a < n} \frac1{an^3}\\ &=&\left(\sum_{0 < a < b < n}+\sum_{0 < a=b < n}+\sum_{0 < b < a < n}\right)\frac1{abn^2}+\sum_{0 < a < n} \frac1{an^3}\\ &=&2\zeta(1,1,2)+\zeta(2,2)+\zeta(1,3)\\ &=&3\zeta(4)\\ \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle 3\zeta(4)$となります。