級数解説01

2020/10/30に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1322141430404456450?s=21

[解説]
$\begin{array}{rcl}& & {\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n{H}_{n-1}}{n^2}}\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(H_{n-1}+\frac{1}{n})H_{n-1}}{n^2}\\ & =& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_{n-1}^2}{n^2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_{n-1}}{n^3}\\ & =& \sum _{0<a,b<n}\frac{1}{ab{n}^2}+\sum _{0<a<n}\frac{1}{a{n}^3}\\ & =& (\sum _{0<a<b<n}+\sum _{0<a=b<n}+\sum _{0<b<a<n})\frac{1}{ab{n}^2}+\sum _{0<a<n}\frac{1}{a{n}^3}\\ & =& 2\zeta (1,1,2)+\zeta (2,2)+\zeta (1,3)\\ & =& 3\zeta (4)\end{array}$
よって、この問題の解答は${\displaystyle 3\zeta (4)}$となります。