二変数関数の極限　〜極限の順序〜

はじめに

今回は、二変数関数$f(x,t)$の極限において、
$$\underset{x\to a}{lim}\underset{t\to b}{lim}f(x,t)=\underset{t\to b}{lim}\underset{x\to a}{lim}f(x,t)$$
が成り立つのはどういうときなのか、ということについてのイメージの仕方をお話ししていきます。

極限を捉え直す

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=c$$
とは、任意の$ϵ>0$に対して
$$x\in U(a,\delta )\Rightarrow |f(x)-c|<ϵ$$
を満たす$\delta$をとることができる、ということでした。これは、$x$が然るべき条件$C:x\in U$を満たせば、$ϵ$の差を除いて$f(x)$と$c$は等しい、と捉えることができます。これを、
$$f(x)\stackrel{ϵ}{=}c$$
と書くことにします。($U$は十分条件としてその部分集合で代用できるので、$U$の取り方は一意的ではありません。)
上の極限を取るという操作を、「$x$を$a$に限りなく近づけることで、$f(x)$を$c$に限りなく近づける」と考えるのではなく、「$x$を$U$に入れることで、$f(x)$を$c$に$ϵ$より近づける」と考えるのです。議論の途中で$ϵ$に条件を課すことがなければ、すなわち任意の$ϵ>0$で成り立つことしか行わなければ、これは結局、
$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=c$$
と読み直せるので、とりあえずは「$ϵ$の差を除いて等しい」状態で考えよう、というわけです。

関数族の極限

今の話を、関数族$(f_t(x){)}_{t\in T}$に適用してみます。これは、二変数関数$f(x,t)$を考えることに同じです。以下、$x$の定義域を$X=[0,a)$、$t$の定義域を$T=[0,b)$とします。
$$\underset{t\to b}{lim}f(x,t)=f(x)$$
に、上の話をとりあえず当てはめてみると、$t$が然るべき条件を満たすとき、
$f(x,t)\stackrel{ϵ}{=}f(x)$となります。しかし、$t$の条件は$x$による可能性があるので、次のようにするのがよいでしょう。

いちいち「然るべき条件」というのは面倒なので、この条件は$xt$平面上の領域とみなせますから、それを$ϵ$領域と呼ぶことにしましょう。$ϵ$領域内で、$f(x,t)\stackrel{ϵ}{=}f(x)$と考えるということです。

epsilon領域

一様収束

$f(x,t)$が$f(x)$に$t\to b$で一様収束するというのは、$ϵ$領域が次の図のように、長方形に取れるというのと等しいことがわかると思います。

一様収束

反対に、$f(x,t)$が$f(x)$に$t\to b$で一様収束せず各点収束するというのは、$ϵ$領域が次の図のように、定義域内で無限に細くなってしまうということです。

各点収束

完全に潰れてしまう点$(a,b)$は定義域の外にあることに注意してください。でないと、各点収束すらしないことになってしまいます。

極限の順序交換

わざわざこのような言い換えをしてきたのは、極限の順序交換の話をするためです。
$$\underset{x\to a}{lim}\underset{t\to b}{lim}f(x,t)=\underset{t\to b}{lim}\underset{x\to a}{lim}f(x,t)...(A)$$
は一般に成り立つでしょうか。ただし、$\underset{x\to a}{lim}f(x,t)=g(t)$や$\underset{t\to b}{lim}f(x,t)=f(x)$は、少なくとも各点収束の意味で存在するとします。また、$\underset{x\to a}{lim}f(x)=c$も存在するとします。
$\underset{x\to a}{lim}f(x,t)=g(t)$や$\underset{t\to b}{lim}f(x,t)=f(x)$が一様収束か否かで場合分けして考えてみましょう。

ともに一様収束の場合

ともに一様収束ならば、２つの$ϵ$領域、および$c$の$ϵ$領域は次のようになっているはずです。

ともに一様収束

つまり、$g(t)$の$ϵ$領域のなかで、$t$を$b$に近づけていけば、$c$の$ϵ$領域に入ることができます。これは、
$$\underset{t\to b}{lim}g(t)=c$$
を意味し、$(A)$が成り立つことがわかりました。ついでに、$(a,b)$の近傍で、$c$の$ϵ$領域にすっぽり入るものが取れますから、
$$\underset{(x,t)\to (a,b)}{lim}f(x,t)=c...(B)$$
も成り立ちます。

一方のみ一様収束の場合

一方のみ一様収束のとき、２つの$ϵ$領域、および$c$の$ϵ$領域は次のようになっているでしょう。

一様収束と各点収束

このときもやはり、$g(t)$の$ϵ$領域のなかで、$t$を$b$に近づけていけば、$c$の$ϵ$領域に入ることができます。つまり$(A)$は成り立ちますし、同様にして$(B)$も成り立ちます。

ともに一様収束でない場合

ともに一様収束でない場合、一番"ヤバイ"のは、$ϵ$領域が次のようになっているときです。

ともに各点収束

このとき、$g(t)$の$ϵ$領域は$c$のそれと共通部分を持たないので、$\underset{t\to b}{lim}g(t)=c$とは限りません。よって$(A)$が成り立つとは言えません。

おわりに

このように、"$ϵ$領域"というものをイメージすると、極限の順序交換がなぜ一様収束性と関係するのか、少しはわかりやすくなるのではないかと思います。

読んでいただきありがとうございました。