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お気に入りの級数まとめ

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{beq}[0]{\begin{eqnarray*}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{ds}[0]{\displaystyle} \newcommand{eeq}[0]{\end{eqnarray*}} \newcommand{G}[1]{\Gamma({#1})} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{hp}[0]{\frac{\pi}2} \newcommand{limn}[0]{\lim_{n\to\infty}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{sumk}[0]{\sum_{k=1}^n} \newcommand{sumn}[1]{\sum_{n={#1}}^\infty} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{tc}[0]{\TextCenter} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

${}$

最近少し話題の, 手書きの数式を$\LaTeX$に変換してくれるサイトさん ( https://webdemo.myscript.com/views/math/index.html ) とペンタブを使って, 手軽に数式が打てそうだと思ったので, お気に入りの級数のまとめを作ってみました.
${}$

$$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{n!^{2}}{\left( 2n\right) !}=\dfrac{4}{3}+\dfrac{2\pi }{9\sqrt{3}}$$
$$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{2^{n}n!^{2}}{\left( 2n\right) !}=2+\dfrac{\pi }{2}$$
$$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{\left( -1\right) ^{n}n!^{2}}{\left( 2n\right) !}=\dfrac{4}{5}\left( 1-\dfrac{\log \varphi }{\sqrt{5}}\right)$$

${}$

$$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{\left( 5n+3\right) n!\left( 2n\right) !}{2^{n}\left( 3n+2\right) !}=\dfrac{\pi }{2}$$

$$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{\left( 5n+4\right) n!\left( 2n\right) !}{2^{n}\left( 3n+2\right) !}=3\log 2$$

${}$

$$\sum ^{\infty }_{n=0}\dfrac{n!\left( 2n\right) !}{2^{n}\left( 3n\right) !}=\dfrac{3}{5^{3}}\left( \dfrac{11}{6}\pi -2\log 2+45\right)$$

${}$
$$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{1}{2n-1}\left( \dfrac{\left( 2n\right) !}{2^{2n}n!^{2}}\right) =1$$

$$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{1}{2n-1}\left( \dfrac{\left( 2n\right) !}{2^{2n}n!^{2}}\right) ^{2}=1-\dfrac{2}{\pi }$$

${}$

$$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{H_{n}H_{n+1}}{n\left( n+1\right) }=\zeta(2) +2\zeta(3) $$

$$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{H_{n}H_{n+1}H_{n+2}}{n\left( n+1\right) \left( n+2\right) }=-\dfrac{1}{2}\zeta(2) +\dfrac{5}{4}\zeta(3) +\dfrac{5}{8}\zeta(4)$$

${}$

$$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{\left( 2n\right) !}{2^{2n}n!^{2}}\dfrac{H_{n}}{n+1}=4\log 2$$

$$\sum ^{\infty }_{n=1}\dfrac{\left( 2n\right) !}{2^{2n}n!^{2}}\dfrac{H_{n}^{2}}{n+1}=\pi ^{2}+4\log ^{2}2$$

${}$

投稿日:20201122

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投稿者

東大理数B3です

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