sin, cosの二倍角、三倍角、加法定理をオイラーの公式で証明するよ! (高校生用)

$$ e^{i \theta }=\cos\theta +i\sin\theta $$今回は上の式を使って証明するよ

加法定理

$$e^{i(\alpha + \beta)}=\cos(\alpha + \beta) +i\sin(\alpha + \beta) \Longleftrightarrow e^{i\alpha}e^{i\beta}=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta) $$より$$(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta+i\sin\alpha\sin\beta+i\sin\beta\sin\alpha-\sin\alpha\sin\beta $$$$=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta+i(\sin\alpha\sin\beta+\sin\beta\sin\alpha)$$これより
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \ \sin(\alpha+\beta)\equiv\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \\ \ \cos(\alpha+\beta)\equiv\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{array} \right. \end{eqnarray} $$$(\alpha-\beta)$の場合も同じ議論ができることから
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \ \sin(\alpha\pm\beta)\equiv\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta \\ \ \cos(\alpha\pm\beta)\equiv\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta \end{array} \right. \end{eqnarray} $$となるね。(自分でも証明してみてね。)

2倍角

$$e^{i2\theta}=\cos2\theta +i\sin2\theta \Longleftrightarrow(e^{i\theta})^2=(\cos\theta +i\sin\theta )^2 $$より
$$(\cos\theta +i\sin\theta )^2=\cos^2\theta+2i\sin\theta\cos\theta-\sin^2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta+i(2\sin\theta\cos\theta) $$これより、$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \ \sin2\theta\equiv2\sin\theta\cos\theta \\ \ \cos2\theta\equiv\cos^2\theta-\sin^2\theta\equiv1-2\sin^2\theta\equiv2\cos^2\theta-1 \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

3倍角

二倍角の時と同じように考えよう
$$e^{i3\theta}=\cos3\theta +i\sin3\theta \Longleftrightarrow(e^{i\theta})^3=(\cos\theta +i\sin\theta )^3 $$より
$$(\cos\theta +i\sin\theta )^3=\cos^3\theta+3i\sin\theta\cos^2\theta-3\sin^2\theta\cos\theta-i\sin^3\theta$$$$=4\cos^3\theta-3\cos\theta+i(3\sin\theta-4\sin^3\theta) $$これより、$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \ \sin3\theta\equiv3\sin\theta-4\sin^3\theta \\ \ \cos3\theta\equiv4\cos^3\theta-3\cos\theta \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

おまけ: $\sin(\alpha+\beta+\gamma)$と$\cos(\alpha+\beta+\gamma)$

$$e^{i(\alpha+\beta+\gamma)}=\cos(\alpha+\beta+\gamma) +i\sin(\alpha+\beta+\gamma)$$$$ \Longleftrightarrow e^{i\alpha}e^{i\beta}e^{i\gamma}=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)(\cos\gamma+i\sin\gamma)$$より$$(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)(\cos\gamma+i\sin\gamma)$$$$=\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma+i\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+i\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+i\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma$$$$-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma-i\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$$$$=\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma$$$$+i(\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma)$$よって$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \sin(\alpha+\beta+\gamma)=\cos\alpha\sin\beta\cos\gamma+\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma \\ \cos(\alpha+\beta+\gamma)=\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma-\sin\alpha\sin\beta\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\beta\sin\gamma \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

見てくださりありがとうございます。とりあえず初めてMathlogを使うので数式入力の練習もかねて書きました。質問や間違っている所などありましたらコメントかTwitter(@Zen_nyu)のほうまでお願いします。