eiθ=cosθ+isinθ今回は上の式を使って証明するよ
ei(α+β)=cos(α+β)+isin(α+β)⟺eiαeiβ=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)より(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=cosαcosβ+isinαsinβ+isinβsinα−sinαsinβ=cosαcosβ−sinαsinβ+i(sinαsinβ+sinβsinα)これより{ sin(α+β)≡sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β)≡cosαcosβ−sinαsinβ(α−β)の場合も同じ議論ができることから{ sin(α±β)≡sinαcosβ±cosαsinβ cos(α±β)≡cosαcosβ∓sinαsinβとなるね。(自分でも証明してみてね。)
ei2θ=cos2θ+isin2θ⟺(eiθ)2=(cosθ+isinθ)2より(cosθ+isinθ)2=cos2θ+2isinθcosθ−sin2θ=cos2θ−sin2θ+i(2sinθcosθ)これより、{ sin2θ≡2sinθcosθ cos2θ≡cos2θ−sin2θ≡1−2sin2θ≡2cos2θ−1
二倍角の時と同じように考えようei3θ=cos3θ+isin3θ⟺(eiθ)3=(cosθ+isinθ)3より(cosθ+isinθ)3=cos3θ+3isinθcos2θ−3sin2θcosθ−isin3θ=4cos3θ−3cosθ+i(3sinθ−4sin3θ)これより、{ sin3θ≡3sinθ−4sin3θ cos3θ≡4cos3θ−3cosθ
ei(α+β+γ)=cos(α+β+γ)+isin(α+β+γ)⟺eiαeiβeiγ=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)(cosγ+isinγ)より(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)(cosγ+isinγ)=cosαcosβcosγ+icosαsinβcosγ+isinαcosβcosγ+icosαcosβsinγ−sinαsinβcosγ−cosαsinβsinγ−sinαcosβsinγ−isinαsinβsinγ=cosαcosβcosγ−sinαsinβcosγ−cosαsinβsinγ−sinαcosβsinγ+i(cosαsinβcosγ+sinαcosβcosγ+cosαcosβsinγ−sinαsinβsinγ)よって{sin(α+β+γ)=cosαsinβcosγ+sinαcosβcosγ+cosαcosβsinγ−sinαsinβsinγcos(α+β+γ)=cosαcosβcosγ−sinαsinβcosγ−cosαsinβsinγ−sinαcosβsinγ
見てくださりありがとうございます。とりあえず初めてMathlogを使うので数式入力の練習もかねて書きました。質問や間違っている所などありましたらコメントかTwitter(@Zen_nyu)のほうまでお願いします。
バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。