sin, cosの二倍角、三倍角、加法定理をオイラーの公式で証明するよ! (高校生用)

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$e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ 今回は上の式を使って証明するよ

加法定理

$e^{i (α + β)} = \cos (α + β) + i \sin (α + β) ⟺ e^{i α} e^{i β} = (\cos α + i \sin α) (\cos β + i \sin β)$ より $(\cos α + i \sin α) (\cos β + i \sin β) = \cos α \cos β + i \sin α \sin β + i \sin β \sin α - \sin α \sin β$ $= \cos α \cos β - \sin α \sin β + i (\sin α \sin β + \sin β \sin α)$ これより
$\begin{array}{r} {\begin{cases} \sin (α + β) \equiv \sin α \cos β + \cos α \sin β \\ \cos (α + β) \equiv \cos α \cos β - \sin α \sin β \end{cases} \end{array}$ $(α - β)$ の場合も同じ議論ができることから
$\begin{array}{r} {\begin{cases} \sin (α \pm β) \equiv \sin α \cos β \pm \cos α \sin β \\ \cos (α \pm β) \equiv \cos α \cos β \mp \sin α \sin β \end{cases} \end{array}$ となるね。(自分でも証明してみてね。)

2倍角

$e^{i 2 θ} = \cos 2 θ + i \sin 2 θ ⟺ (e^{i θ})^{2} = (\cos θ + i \sin θ)^{2}$ より
$(\cos θ + i \sin θ)^{2} = \cos^{2} θ + 2 i \sin θ \cos θ - \sin^{2} θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ + i (2 \sin θ \cos θ)$ これより、 $\begin{array}{r} {\begin{cases} \sin 2 θ \equiv 2 \sin θ \cos θ \\ \cos 2 θ \equiv \cos^{2} θ - \sin^{2} θ \equiv 1 - 2 \sin^{2} θ \equiv 2 \cos^{2} θ - 1 \end{cases} \end{array}$

3倍角

二倍角の時と同じように考えよう
$e^{i 3 θ} = \cos 3 θ + i \sin 3 θ ⟺ (e^{i θ})^{3} = (\cos θ + i \sin θ)^{3}$ より
$(\cos θ + i \sin θ)^{3} = \cos^{3} θ + 3 i \sin θ \cos^{2} θ - 3 \sin^{2} θ \cos θ - i \sin^{3} θ$ $= 4 \cos^{3} θ - 3 \cos θ + i (3 \sin θ - 4 \sin^{3} θ)$ これより、 $\begin{array}{r} {\begin{cases} \sin 3 θ \equiv 3 \sin θ - 4 \sin^{3} θ \\ \cos 3 θ \equiv 4 \cos^{3} θ - 3 \cos θ \end{cases} \end{array}$

おまけ: $\sin (α + β + γ)$ と $\cos (α + β + γ)$

$e^{i (α + β + γ)} = \cos (α + β + γ) + i \sin (α + β + γ)$ $⟺ e^{i α} e^{i β} e^{i γ} = (\cos α + i \sin α) (\cos β + i \sin β) (\cos γ + i \sin γ)$ より $(\cos α + i \sin α) (\cos β + i \sin β) (\cos γ + i \sin γ)$ $= \cos α \cos β \cos γ + i \cos α \sin β \cos γ + i \sin α \cos β \cos γ + i \cos α \cos β \sin γ$ $- \sin α \sin β \cos γ - \cos α \sin β \sin γ - \sin α \cos β \sin γ - i \sin α \sin β \sin γ$ $= \cos α \cos β \cos γ - \sin α \sin β \cos γ - \cos α \sin β \sin γ - \sin α \cos β \sin γ$ $+ i (\cos α \sin β \cos γ + \sin α \cos β \cos γ + \cos α \cos β \sin γ - \sin α \sin β \sin γ)$ よって $\begin{array}{r} {\begin{cases} \sin (α + β + γ) = \cos α \sin β \cos γ + \sin α \cos β \cos γ + \cos α \cos β \sin γ - \sin α \sin β \sin γ \\ \cos (α + β + γ) = \cos α \cos β \cos γ - \sin α \sin β \cos γ - \cos α \sin β \sin γ - \sin α \cos β \sin γ \end{cases} \end{array}$