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sin, cosの二倍角、三倍角、加法定理をオイラーの公式で証明するよ! (高校生用)

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eiθ=cosθ+isinθ今回は上の式を使って証明するよ

加法定理

ei(α+β)=cos(α+β)+isin(α+β)eiαeiβ=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)より(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=cosαcosβ+isinαsinβ+isinβsinαsinαsinβ=cosαcosβsinαsinβ+i(sinαsinβ+sinβsinα)これより
{ sin(α+β)sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β)cosαcosβsinαsinβ(αβ)の場合も同じ議論ができることから
{ sin(α±β)sinαcosβ±cosαsinβ cos(α±β)cosαcosβsinαsinβとなるね。(自分でも証明してみてね。)

2倍角

ei2θ=cos2θ+isin2θ(eiθ)2=(cosθ+isinθ)2より
(cosθ+isinθ)2=cos2θ+2isinθcosθsin2θ=cos2θsin2θ+i(2sinθcosθ)これより、{ sin2θ2sinθcosθ cos2θcos2θsin2θ12sin2θ2cos2θ1

3倍角

二倍角の時と同じように考えよう
ei3θ=cos3θ+isin3θ(eiθ)3=(cosθ+isinθ)3より
(cosθ+isinθ)3=cos3θ+3isinθcos2θ3sin2θcosθisin3θ=4cos3θ3cosθ+i(3sinθ4sin3θ)これより、{ sin3θ3sinθ4sin3θ cos3θ4cos3θ3cosθ

おまけ: sin(α+β+γ)cos(α+β+γ)

ei(α+β+γ)=cos(α+β+γ)+isin(α+β+γ)eiαeiβeiγ=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)(cosγ+isinγ)より(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)(cosγ+isinγ)=cosαcosβcosγ+icosαsinβcosγ+isinαcosβcosγ+icosαcosβsinγsinαsinβcosγcosαsinβsinγsinαcosβsinγisinαsinβsinγ=cosαcosβcosγsinαsinβcosγcosαsinβsinγsinαcosβsinγ+i(cosαsinβcosγ+sinαcosβcosγ+cosαcosβsinγsinαsinβsinγ)よって{sin(α+β+γ)=cosαsinβcosγ+sinαcosβcosγ+cosαcosβsinγsinαsinβsinγcos(α+β+γ)=cosαcosβcosγsinαsinβcosγcosαsinβsinγsinαcosβsinγ

見てくださりありがとうございます。とりあえず初めてMathlogを使うので数式入力の練習もかねて書きました。質問や間違っている所などありましたらコメントかTwitter(@Zen_nyu)のほうまでお願いします。

投稿日:2020116
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Zenx
Zenx
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解析頑張ってます

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