積分解説22
級数botにあった積分です。
この記事では1番上に書いてある積分を解きます。
https://twitter.com/infseriesbot/status/1330323751054041090?s=21
$$ \d\int_0^1 \frac{\log(1-x)\log(1-x^2)}xdx $$
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^1 \frac{\log(1-x)\log(1-x^2)}xdx\\ &=&\int_0^1\frac1x\sum_{a=1}^\infty\frac{x^a}a\sum_{b=1}^\infty \frac{x^{2b}}bdx\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{ab}\int_0^1x^{a+2b-1}dx\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{ab(a+2b)}\\ &=&\sum_{a=1}^\infty \frac{H_{2a}}{2a^2}\\ &=&\sum_{a=1}^\infty \frac{H_a}{a^2}+\sum_{a=1}^\infty \frac{(-1)^aH_a}{a^2}\\ &=&\z^*(1,2)+\z^*(1,\overline2)\\ &=&\z(1,2)+\z(1,\overline2)+\frac14\z(3)\\ &=&\z(3)+\frac18\z(3)+\frac14\z(3)\\ &=&\frac{11}8\z(3)~~~~~~~~~~\square \end{eqnarray*} $
以上より
$\d\int_0^1 \frac{\log(1-x)\log(1-x^2)}xdx=\frac{11}8\z(3)$
が求まりました。しかし級数botの方とは値が違います。これを級数botの中の人であるnkswtrさんに聞いてみたところ、積分区間は$(-1,1)$とのことでした。なので積分区間を変えてもう1回解いてみましょう。
$$ \d\int_{-1}^1 \frac{\log(1-x)\log(1-x^2)}xdx $$
$ \begin{eqnarray*} &&\d\int_{-1}^1 \frac{\log(1-x)\log(1-x^2)}xdx\\ &=&\int_{-1}^1\frac{\log^2(1-x)+\log(1-x)\log(1+x)}xdx\\ &=&\int_0^1\frac{\log^2(1-x)}xdx-\int_0^1\frac{\log^2(1+x)}xdx\\ &=&\int_0^1\frac1x\sum_{a=1}^\infty\frac{x^a}a\sum_{b=1}^\infty\frac{x^b}bdx-\int_0^1\frac1x\sum_{a=1}^\infty\frac{(-x)^a}a\sum_{b=1}^\infty\frac{(-x)^b}bdx\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{ab}\int_0^1x^{a+b-1}dx-\sum_{0\f a,b}\frac{(-1)^{a+b}}{ab}\int_0^1x^{a+b-1}dx\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{ab(a+b)}-\sum_{0\f a,b}\frac{(-1)^{a+b}}{ab(a+b)}\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac1{(a+b)^2}\l\frac1a+\frac1b \r-\sum_{0\f a,b}\frac{(-1)^{a+b}}{(a+b)^2}\l\frac1a+\frac1b\r\\ &=&2\z(1,2)-2\z(1,\overline2)\\ &=&2\z(3)-\frac14\z(3)\\ &=&\frac74\z(3)~~~~~~~~~~\square \end{eqnarray*} $
以上より、
$\d\int_{-1}^1 \frac{\log(1-x)\log(1-x^2)}xdx=\frac74\z(3) $
が求まりました。
