【高校数Ⅲ(?)】【積分】Twitterに流れてきた問題を紹介&解答

初めに

こんにちは、ループです。(1),(2)の誘導からの(3)が綺麗だったので、紹介していきたいと思い執筆しました。
かなり大学数学の話が多い中、高校数学の記事を書くのは少し緊張するのですが、頑張っていきたいと思います。

問題

難関大とかの入試に出てきそうな雰囲気の問題ですねコレ。まあ入試問題ではないので、気楽にやって行きましょう。
自力でやってみたい人はここで読むのを止めることを推奨します。

(私の)解答

(1) - ①の解答

${\displaystyle I_n={\int }_0^{2\pi }\frac{\sin nx}{\sin x}dx}$と置くと、

$$\begin{gathered} {\displaystyle I_{n+2}{\displaystyle ={\int }_0^{2\pi }\frac{\sin (n+2)x}{\sin x}dx}} \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{\sin x\cos (n+1)x+\cos x\sin (n+1)x}{\sin x}dx} \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\cos (n+1)xdx+{\int }_0^{2\pi }\frac{\cos x\sin (n+1)x}{\sin x}dx} \\ ={\displaystyle {[\frac{1}{n+1}\sin (n+1)x]}_0^{2\pi }+{\int }_0^{2\pi }\frac{\cos x(\sin x\cos nx+\cos x\sin nx)}{\sin x}dx} \\ ={\displaystyle 0+{\int }_0^{2\pi }\{\cos x\cos nx+\frac{(1-{\sin }^{2}x)\sin nx}{\sin x}\}dx} \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }(\cos x\cos nx-\sin x\sin nx)dx+{\int }_0^{2\pi }\frac{\sin nx}{\sin x}dx} \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\cos (n+1)xdx+I_n} \\ ={\displaystyle I_n} \end{gathered}$$
よって、$n$が奇数or偶数で場合分けをすると、
(ⅰ)$n$が奇数のとき
$$\begin{gathered} I_n=I_1 \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{\sin x}{\sin x}dx} \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }1dx} \\ ={\displaystyle 2\pi } \end{gathered}$$
(ⅱ)$n$が偶数のとき
$$\begin{gathered} I_n=I_2 \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{\sin 2x}{\sin x}dx} \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{2\sin x\cos x}{\sin x}dx} \\ ={\displaystyle 2{\int }_0^{2\pi }\cos xdx} \\ ={\displaystyle 2{[\sin x]}_0^{2\pi }} \\ =0 \end{gathered}$$
**
答：$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}nが奇数のとき 2\pi \\ nが偶数のとき 0\end{array}\end{array}$
**

(1) - ②の解答

$J_n={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{\sin nx\cos x}{\sin x}dx}$と置くと、
$$\begin{gathered} J_{n+1}={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{\sin (n+1)x\cos x}{\sin x}dx} \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{(\sin x\cos nx+\cos x\sin nx)\cos x}{\sin x}dx} \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\{\cos x\cos nx+\frac{(1-{\sin }^{2}x)\sin nx}{\sin x}\}dx} \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }(\cos x\cos nx-\sin x\sin nx)dx+{\int }_0^{2\pi }\frac{\sin nx}{\sin x}dx} \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\cos (n+1)xdx+I_n} \\ ={\displaystyle I_n} \end{gathered}$$
$\therefore n\geqq 2のとき J_n=I_{n-1}=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}nが奇数のとき 0\\ nが偶数のとき 2\pi \end{array}\end{array}$となる。
●$n=1$のとき、
$$\begin{gathered} J_1={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\frac{\sin x\cos x}{\sin x}dx} \\ ={\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\cos xdx} \\ ={\displaystyle 0} \end{gathered}$$
よって$n=1$のときも適している。
**
答：$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}nが奇数のとき 0\\ nが偶数のとき 2\pi \end{array}\end{array}$
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(2)の解答

$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}\\ {\displaystyle {\cos }^2\theta =\frac{1+\cos \frac{\theta }{2}}{2}}\end{array}\end{array}$
を利用する。
**
$$\begin{gathered} {\displaystyle \tan \frac{x}{2}=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}} \\ ={\displaystyle \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}} \\ ={\displaystyle \frac{\sin x}{1+\cos x}} \end{gathered}$$
**

よって題意は示された。□

(3)の解答

$$\begin{gathered} \{{\displaystyle (\log (a\sin \frac{x}{2}){\}}^{\prime }=\frac{a}{2}\cos \frac{x}{2}・\frac{1}{a\sin \frac{x}{2}}} \\ ={\displaystyle \frac{1}{2\tan \frac{x}{2}}} \end{gathered}$$
を利用して部分積分を行うと、

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_0^{2\pi }-\cos nx・\log (a\sin \frac{x}{2})dx={[-\frac{1}{n}\sin nx・\log (a\sin \frac{x}{2})]}_0^{2\pi }+\frac{1}{2n}{\int }_0^{2\pi }\frac{\sin nx}{\tan \frac{x}{2}}dx} \\ ={\displaystyle 0+\frac{1}{2n}{\int }_0^{2\pi }\frac{\sin nx+\sin nx\cos x}{\sin x}dx(\because (2)の証明)} \\ ={\displaystyle \frac{1}{2n}(I_n+J_n)} \\ ={\displaystyle \frac{1}{2n}・2\pi (\because I_n+J_n=\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}nが奇数のとき2\pi +0=2\pi \\ nが偶数のとき0+2\pi =2\pi \end{array}\end{array})} \\ ={\displaystyle \frac{\pi }{n}} \end{gathered}$$
**
答：${\displaystyle \frac{\pi }{n}}$
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考察

$\mathit{い}\mathbf{ }\mathit{か}\mathbf{ }\mathit{が}\mathbf{ }\mathit{で}\mathbf{ }\mathit{し}\mathbf{ }\mathit{た}\mathbf{ }\mathit{か}\mathbf{ }\mathit{？}\mathbf{ }$(NAVERまとめ並感)
それはそうとして、一つ気になる点があるんですよ。
(1)と(3)で$x=0,2\pi$のときに$\mathit{分}\mathit{母}\mathit{が}\mathbf{0}$になっていたり、$\mathit{真}\mathit{数}\mathit{が}\mathbf{0}$になっていたりする点です。
定義できないのですが、大学数学で「広義積分」を用いて考えると解けるらしいです。
高校数学しか学べていないので時間があるときに文献を見てみたいと思います。
厳密な議論が出来ていない点はご了承ください…。

積分を漸化式として考えたり、加法定理や三角関数の相互作用を総復習できたので、非常に良い勉強になりました。

最後に

ここまでの閲覧ありがとうございました。
出題者はkanicoroさん(@_k256)でした。本当にありがとうございました。