高校数学の問題-その2

初めに

この記事では前回と同様に高校時代に作問した問題の中からそれなりに良い出来だと思ったものを一つ紹介します。（この文章は以下の紹介する問題が良問であることを一切保証しません。）
問題設定としてはありふれていそうなので、すでに解いたことがある人もいるかもしれないです。その際もし未知の問題を期待をしていたなら期待に沿えなくて申し訳ないです。
今回も問題のすぐ下に解答を書くので解きたい人は注意してください。
この記事を書くにあたって一度解きなおしましたが、私は約四時間かかりました。

問題

平面上に三つの$A,B,C$円があり、半径はそれぞれ$a,b,c$である。
この三つの円は互いに他の二つの円と外接しており、この三つの円に囲まれた領域を$D$とする。
$a+b+c=1$の条件の下で領域$D$の面積の最大値およびそのときの$a,b,c$の組$(a,b,c)$をすべて求めよ。
ただし$a,b,c$を一つ決めると上記の状態および領域$D$が線対称な図形を除きただ一つに定まることは断りなしに用いてよい。

解答の前に

解答の際以下の有名な不等式と等式を使います。

イェンゼンの不等式

関数$f(x)$は開区間$(a,b)$で定義されており二回微分可能とする。このとき$(a,b)$で常に$f^{\prime \prime }(x)<0$ならば、任意の自然数$n\ge 2$と任意の$n$個の$0$より大きく$1$より小さい実数${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$および任意の$n$個の$a$より大きく$b$より小さいの実数$x_1,\cdots ,x_n$に対し、${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n=1$のもとで
$${\lambda }_{1}f(x_1)+\cdots +{\lambda }_{n}f(x_n)\le f({\lambda }_1{x}_1+\cdots +{\lambda }_n{x}_n)$$が成立する。等号成立条件は$x_1=\cdots =x_n$の値がすべて等しいときである。

上の不等式は、二階導関数の符号を反転させた$f^{\prime \prime }(x)>0$のときは不等号の向きが逆にります。また開区間に限らず一般の区間についても成立します。これらの不等式はまとめてイェンゼンの不等式と呼ばれています。下に解答に使う上記の場合についての証明の概略を載せます。詳細は参考文献[1]などを参照してください。

タンジェントの積和公式

$x+y+z=\frac{\pi }{2}$のとき、等式$$\frac{1}{\tan x\tan y\tan z}=\frac{1}{\tan x}+\frac{1}{\tan y}+\frac{1}{\tan z}$$が成立する。ただし$\tan x,\tan y,\tan x$はすべて$0$以外の値を持つものとする。

以降問題の解答に入る。

解答

円の中心を$P_A,P_B,P_C$とし、円$B,C$の接点を$D$、円$A,C$の接点を$E$、円$A,B$の接点を$F$とする。
円$A,B$は点$F$で接しているので、点$F$を通る共通接線$l$を持つ。$l\perp AF,BF$であり、$A,B$は$l$に対して反対側にあるので、$\mathrm{\angle }AFB=\pi$となる。したがって$A,F,B$はこの順に一直線上にある。全く同様に$B,D,C$および$C,E,A$もこの順に一直線上にあることがわかる。（ここでいう一直線上にあるとは、互いに異なる三点を通る直線が存在することを指す。平面の公理よりこれは存在すれば一意である。）
また、三角形$P_A{P}_B{P}_C$に対し、$\mathrm{\angle }{P}_A={\theta }_A,\mathrm{\angle }{P}_B={\theta }_B,\mathrm{\angle }{P}_C={\theta }_C$と置く。
領域$D$の面積を$S$と置く。先ほど示した事実より、$$S=(\text{三角形}{P}_A{P}_B{P}_C\text{の面積})-(\text{扇形}{P}_{A}EF\text{の面積}+\text{扇形}{P}_{B}DF\text{の面積}+\text{扇形}{P}_{C}DE\text{の面積})$$である。ここで、$P_A{P}_B=a+b,P_B{P}_C=b+c,P_C{P}_A=c+a$であるから、ヘロンの公式より、$s=\frac{(b+c)+(c+a)+(a+b)}{2}=a+b+c=1$に対し、$$\text{三角形}{P}_A{P}_B{P}_C\text{の面積}=\sqrt{s(s-(a+b))(s-(b+c))(s-(c+a))}=\sqrt{abc}$$扇形の面積の公式より、$$\text{扇形}{P}_{A}EEF\text{の面積}=\frac{{\theta }_A}{2}{a}^2$$$$\text{扇形}{P}_{B}DF\text{の面積}=\frac{{\theta }_B}{2}{b}^2$$$$\text{扇形}{P}_{C}DE\text{の面積}=\frac{{\theta }_C}{2}{c}^2$$したがって、$$S=\sqrt{abc}-\frac{{\theta }_A}{2}{a}^2-\frac{{\theta }_B}{2}{b}^2-\frac{{\theta }_C}{2}{c}^2$$を得る。次に、余弦定理より、$$(b+c{)}^2=(a+b{)}^2+(a+c{)}^2-2(a+b)(a+c)\cos {\theta }_A$$であるから、$a+b+c=1$に注意して、$$\cos {\theta }_A=\frac{(a+b{)}^2+(a+c{)}^2-(b+c{)}^2}{2(a+b)(a+c)}=\frac{a^2+(b+c)a-bc}{(1-b)(1-c)}=\frac{a^2+(1-a)a-bc}{1-b-c+bc}=\frac{a-bc}{a+bc}=\frac{1-\frac{bc}{a}}{1+\frac{bc}{a}}$$となる。これを$\frac{bc}{a}$について解くと、半角公式より、$$\frac{bc}{a}=\frac{1-\cos {\theta }_A}{1+\cos {\theta }_A}=\frac{2{\sin }^2\frac{{\theta }_A}{2}}{2{\cos }^2\frac{{\theta }_A}{2}}={\tan }^2\frac{{\theta }_A}{2}$$を得る。まったく同様にして、$$\frac{ca}{b}={\tan }^2\frac{{\theta }_B}{2},\frac{ab}{c}={\tan }^2\frac{{\theta }_C}{2}$$が得られる。さらに、$$abc=\frac{bc}{a}\cdot \frac{ca}{b}\cdot \frac{ab}{c}={\tan }^2\frac{{\theta }_A}{2}{\tan }^2\frac{{\theta }_B}{2}{\tan }^2\frac{{\theta }_C}{2}$$$\mathrm{\angle }{P}_A={\theta }_A,\mathrm{\angle }{P}_B={\theta }_B,\mathrm{\angle }{P}_C={\theta }_C$は三角形の内角であるから、$0<{\theta }_A,{\theta }_B,{\theta }_C<\pi ,{\theta }_A+{\theta }_B+{\theta }_C=\pi$であり、したがって$0<\frac{{\theta }_A}{2},\frac{{\theta }_B}{2},\frac{{\theta }_C}{2}<\frac{\pi }{2},\frac{{\theta }_A}{2}+\frac{{\theta }_B}{2}+\frac{{\theta }_C}{2}=\frac{\pi }{2}$である。
これにより、$\tan \frac{{\theta }_A}{2},\tan \frac{{\theta }_B}{2},\tan \frac{{\theta }_C}{2}$は全て正であるから
$$\sqrt{abc}=\tan \frac{{\theta }_A}{2}\tan \frac{{\theta }_B}{2}\tan \frac{{\theta }_C}{2}$$さらに、タンジェントの積和公式より、$$\frac{1}{\sqrt{abc}}=\frac{1}{\tan \frac{{\theta }_A}{2}\tan \frac{{\theta }_B}{2}\tan \frac{{\theta }_C}{2}}=\frac{1}{\tan \frac{{\theta }_A}{2}}+\frac{1}{\tan \frac{{\theta }_B}{2}}+\frac{1}{\tan \frac{{\theta }_C}{2}}$$であるから、$0<x<\frac{\pi }{2}$を定義域とする関数
$$f(x)=\frac{1}{\tan x}-\frac{x}{{\tan }^{2}x}$$ を考えると、$$S=abc(\frac{1}{\sqrt{abc}}-\frac{{\theta }_A}{2}\cdot \frac{a}{bc}-\frac{{\theta }_B}{2}\cdot \frac{b}{ca}-\frac{{\theta }_C}{2}\cdot \frac{c}{ab})=abc(\frac{1}{\tan \frac{{\theta }_A}{2}}+\frac{1}{\tan \frac{{\theta }_B}{2}}+\frac{1}{\tan \frac{{\theta }_C}{2}}-\frac{\frac{{\theta }_A}{2}}{{\tan }^2\frac{{\theta }_A}{2}}-\frac{\frac{{\theta }_B}{2}}{{\tan }^2\frac{{\theta }_B}{2}}-\frac{\frac{{\theta }_C}{2}}{{\tan }^2\frac{{\theta }_C}{2}})=abc(f\left(\frac{{\theta }_A}{2}\right)+f\left(\frac{{\theta }_B}{2}\right)+f\left(\frac{{\theta }_C}{2}\right))$$となる。煩雑なので計算は省略するが、$$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2x{\cos }^{2}x+x-3\cos x\sin x}{{\sin }^{4}x}$$であり、$g(x)=2x{\cos }^{2}x+x-3\cos x\sin x=2x+x\cos \left(2x\right)-\frac{3}{2}\sin \left(2x\right)$と置くと、$0<2x<\pi$より$\sin \left(2x\right)>0$に注意して、$$g^{\prime }(x)=2-2\cos \left(2x\right)-2x\sin \left(2x\right)$$$$g^{\prime }(x)>0\iff 2-2\cos \left(2x\right)-2x\sin \left(2x\right)>0\iff \frac{1-\cos \left(2x\right)}{\sin \left(2x\right)}>x\iff \tan x>x$$となる。$0<x<\frac{\pi }{2}$のとき$\tan x>x$であったから、$0<x<\frac{\pi }{2}$の範囲で常に$g^{\prime }(x)>0$であり、$g(x)$は$0<x<\frac{\pi }{2}$の範囲で単調増加となる。$x\to +0$のとき、$g(x)\to 0$であるから、$g(x)$は$0<x<\frac{\pi }{2}$のとき常に正であり、これにより$f^{\prime \prime }(x)$は$0<x<\frac{\pi }{2}$のとき常に負である。したがって、$0<\frac{{\theta }_A}{2},\frac{{\theta }_B}{2},\frac{{\theta }_C}{2}<\frac{\pi }{2}$であるから、イェンゼンの不等式より、$n=3,{\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=\frac{1}{3},x_1=\frac{{\theta }_A}{2},x_2=\frac{{\theta }_B}{2},x_3=\frac{{\theta }_C}{2}$として不等式
$$\frac{1}{3}f\left(\frac{{\theta }_A}{2}\right)+\frac{1}{3}f\left(\frac{{\theta }_B}{2}\right)+\frac{1}{3}f\left(\frac{{\theta }_C}{2}\right)\le f\left(\frac{{\theta }_A+{\theta }_B+{\theta }_C}{6}\right)=f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}-\frac{\pi }{2}$$を得る。また、$a+b+c=1$および$a,b,c>0$より、相加相乗平均の不等式から、$$abc\le {\left(\frac{a+b+c}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$$を得る。この二つの不等式から、$$S\le \frac{1}{27}\cdot 3\cdot (\sqrt{3}-\frac{\pi }{2})=\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{\pi }{18}$$となり、等号成立条件は、$a=b=c$かつ${\theta }_A={\theta }_B={\theta }_C$である。これより$a=b=c=\frac{1}{3}$は仮定$a+b+c=1$および等号成立条件をを満たす唯一の組$(a,b,c)$であることがわかる。以上をまとめると、領域$D$の面積は最大値$\frac{\sqrt{3}}{9}-\frac{\pi }{18}$をとり、そのときの$a,b,c$の組は$(a,b,c)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$である。

補足

領域$D$の一意性は、二つの状態に対し、三角形$P_A{P}_B{P}_C$と$P_A^{\prime }{P}_B^{\prime }{P}_C^{\prime }$は三つの辺がそれぞれ等しいので合同であり、対応する合同変換$T$をとると$T$により二つの状態が重なることと合同変換の計量不変性から示せます。細かいことは長くなるので書きません。

参考文献

[1] 受験の月 凸不等式②　イェンゼンの不等式、n変数の相加平均と相乗平均の関係の証明

[2] 高校数学の美しい物語　タンジェントの美しい関係式