記事作成の練習

記事の作成の練習ということで、ガウス積分を証明していきたいと思います。

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$

(証明)
${\displaystyle I={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx}$ とおきます。
すると、
${\displaystyle 4I^2={\left(2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx\right)}^2}$
${\displaystyle ={\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx\right)}^2}$ ($x^2をx$に置き換えた)
${\displaystyle ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-x-y}}{\sqrt{xy}}dxdy}$
${\displaystyle ={\int }_0^x{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-x}}{\sqrt{y(x-y)}}dxdy}$ ($x+y$を$x$に置き換えた)
${\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-x}}{\sqrt{x{\sin }^{2}t(x-x{\sin }^{2}t)}}2x\sin t\cos tdxdt}$($y=x{\sin }^{2}t$と置いた)
${\displaystyle =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x}dxdt=\pi }$
$I>0$より、${\displaystyle I=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$が証明できました。