記事作成の練習

記事の作成の練習ということで、ガウス積分を証明していきたいと思います。

$\displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

(証明)
$\displaystyle I=\int_0^\infty e^{-x^2}dx$ とおきます。
すると、
$\displaystyle4I^2=\left(2\int_0^\infty e^{-x^2}dx\right)^2$
$\displaystyle=\left(\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}dx\right)^2$ ($x^2をx$に置き換えた)
$\displaystyle=\int_0^\infty\int_0^\infty \frac{e^{-x-y}}{\sqrt{xy}}dxdy$
$\displaystyle=\int_0^x\int_0^\infty \frac{e^{-x}}{\sqrt{y(x-y)}}dxdy$ ($x+y$を$x$に置き換えた)
$\displaystyle=\int_0^\frac{\pi}{2}\int_0^\infty\frac{e^{-x}}{\sqrt{x\sin^2t(x-x\sin^2t)}}2x\sin t\cos tdxdt$($y=x\sin^2t$と置いた)
$\displaystyle=2\int_0^\frac{\pi}{2}\int_0^\infty e^{-x}dxdt=\pi$
$I>0$より、$\displaystyle I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$が証明できました。