線形写像と行列の対応

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線形写像と行列の対応

以下はGoogleDriveに眠っていた(たぶん編入の時に作った)ものほぼそのままです。
記念にupしますが利用価値はなさそう(というかウソを書いているかもしれない)

$K$ を体とする． $T : K^{n} \to K^{m}$ が次の二条件を満たすとき線形写像という．

任意の $x, y \in K^{n}, α \in K$ に対し $T (x + y) = T (x) + T (y)$ $T (α x) = α T (x)$ 特に $n = m$ の時，線形変換という．

線形写像 $S : K^{n} \to K^{m}, T : K^{n} \to K^{m}$ に対し
$[S + T] (x) = S (x) + T (x)$ と定義する．これは線形写像になる．

線形写像の定義の二条件を満たしているかをそれぞれ確認する．
$[S + T] (x + y) = S (x + y) + T (x + y) = S (x) + T (x) + S (y) + T (y) = [S + T] (x) + [S + T] (y)$ $[S + T] (α x) = S (α x) + T (α x) = α S (x) + α T (x) = α [S + T] (x)$ 以上で確かめられた．

$S : K^{m} \to K^{l}, T : K^{n} \to K^{m}$ が線形写像なら合成写像 $S \circ T$ も線形写像である．

$S \circ T (x + y) = S (T (x + y)) = S (T (x) + T (y)) = S \circ T (x) + S \cdot T (y)$ $S \circ T (α x) = S (T (α x)) = S (α T (x)) = α S \circ T (x)$

$A$ を $(n, m)$ 行列とする．任意の $x \in K^{n}$ にたいし $A x$ を対応させる写像を $T_{A}$ とおく．すなわち $T_{A} (x) = A x .$ この時，写像 $T_{A}$ は線形写像となる．

任意の $x, y \in K^{n}, α \in K$ に対し $T_{A} (x + y) = A (x + y) = A x + A y = T (x) + T (y)$ $T_{A} (α x) = A (α x) = α A X = α T_{A} (x)$

ここで行列の演算を使った．

$T : K^{n} \to K^{m}$ を線形写像とすると， $T x = A x$ を満たす $(n, m)$ 行列 $A$ がただ一つ存在する．

$T e_{i} = a_{i}$ とする． $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = A$ とおく．この時，任意の $x \in K^{n}$ にたいし $A x$ を対応させる線型写像 $T_{A}$ があって $a_{i} = T_{A} (e_{i})$ ここで任意の $x \in K^{n}$ にたいし $A x$ をとると
$T_{A} x = T_{A} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i} = A \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} A e_{i} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} a_{i} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} T e_{i} = T \sum_{i = 1}^{n} x_{i} e_{i} = T x$ よって線形写像 $T$ にたいして $T x = A x$ を満たす $(n, m)$ 行列 $A$ が存在する．