大学数学基礎解説

全正値正方行列の固有値は全て正で重複が無いらしい

線形代数

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記事を書いた背景

線形代数とネットワーク(高崎金久著，日本評論社) の第11章p123に証明なしで書かれていたため

記事の結論

全正値正方行列の固有値はいずれも正値で、重複が無い。

定義

全正値行列

全ての小行列式が正の実数であるような行列を全正値行列(totally positive matrix)という。

正定値行列(positive semidefinite matrix)とは異なる概念である。
全正値行列が対称行列なら正定値対称行列である。

表記

$n, p$ を整数であって $1 \leq p \leq n$ を満たすものとするとき、
$\begin{array}{r} I_{p} := {i = (i_{1}, \dots, i_{p}) : 1 \leq i_{1} < \dots < i_{p} \leq n} \subset Z^{p} \end{array}$
と定める。
$A = (a_{i j})_{i, j = 1}^{n} \in R^{n \times n}$ を $n \times n$ 行列としたとき、 $i, j \in I_{p}$ について、
$\begin{array}{r} A_{[p]} (i, j) := A (\binom{i_{1}, \dots, i_{p}}{j_{1}, \dots, j_{p}}) = \det {(a_{i_{k}, j_{l}})}_{k, l = 1}^{p} \in R \end{array}$
と定める。
$A$ の $p$ th compound matrix 　 $A_{[p]}$ を $(\binom{n}{p}) \times (\binom{n}{p})$ 行列であって、成分が $A_{[p]} (i, j)$ であるものとする。( $I_{p}$ には辞書式順序を入れる)

compound matrixによって、正方行列 $A$ が全正値行列であることは、任意の $p \in {1, \dots, n}$ について $A_{[p]}$ が正行列(全ての成分が正)であることと言い換えられる。

補題

$n \times n$ 行列 $B, C, D$ が $B = C D$ を満たすとき、任意の $p \in {1, \dots, n}$ について $B_{[p]} = C_{[p]} D_{[p]}$ が成り立つ。

Binet-Cauchyの公式そのままです。
日本語の記事が複数あります( Wikipedia や高校数学の美しい物語 )。

補題2

$A \in C^{n \times n}$ を $n \times n$ 行列としその固有値を重複も考慮して $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ とおく。
このとき $p \in {1, \dots, n}$ について $A_{[p]}$ の $(\binom{n}{p})$ 個の固有値は $1 \leq i_{1} < \dots < i_{p} \leq n$ によって $λ_{i_{1}} \dots λ_{i_{p}}$ と書けるもので尽くされる。

$A$ はある正則行列 $P$ と上三角行列 $T$ によって $A = P^{- 1} T P$ と表せる。
ここで $T$ の対角成分には $A$ の固有値が並んでいる。補題2を用いれば
$\begin{array}{r} A_{[p]} = (P^{- 1})_{[p]} T_{[p]} P_{[p]} = (P_{[p]})^{- 1} T_{[p]} P_{[p]} . \end{array}$
上三角行列のcompound matrixもまた上三角行列となること、対角成分は $T$ の $p$ 個の異なる対角成分の積で表せることがわかるので良い。

Perron–Frobenius theorem

$A \in R^{n \times n}$ を正行列とし $ρ (A) \geq 0$ を固有値の絶対値の最大(スペクトル半径)とする。このとき、

$ρ (A)$ は $A$ の重複度1の固有値である(Frobenius根)
$ρ (A)$ の固有ベクトルとして全ての成分が正のベクトルが取れる。
$λ \in C$ を $A$ の $ρ (A)$ ではない固有値としたとき $| λ | < ρ (A)$ .

有名です。日本語の記事が複数あります( これやこれなど)。

定理の証明

$A$ を $n \times n$ 全正値正方行列とする。
$A$ の固有値を絶対値を $| λ_{1} | \geq \dots \geq | λ_{n} | \geq 0$ となるように並び替える。
$p = {1, \dots, n}$ についての帰納法で示せばよい。
まず $A_{[1]} = A$ は正行列であるため、補題3より $λ_{1} > max {0, | λ_{2} |}$ である。
次に $λ_{1} > \dots > λ_{p - 1} > max {0, | λ_{p} |}$ $(p < n)$ を仮定すると、 $A_{[p]}$ について補題2の系および補題3を用いることで、 $λ_{1} \dots λ_{p}$ が $A_{[p]}$ のFrobenius根であることがわかり、 $λ_{1} \dots λ_{p} > max {0, | λ_{1} \dots λ_{p - 1} λ_{p + 1} |}$ 、つまり $λ_{p} > max {0, | λ_{p + 1} |}$ が導かれる。
最後に $\det A > 0$ であることを思い出せば、 $λ_{1} > \dots > λ_{n} > 0$ となり証明が終了する。