大学数学基礎解説

全正値正方行列の固有値は全て正で重複が無いらしい

線形代数

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記事を書いた背景

線形代数とネットワーク(高崎金久著，日本評論社) の第11章p123に証明なしで書かれていたため

記事の結論

全正値正方行列の固有値はいずれも正値で、重複が無い。

定義

全正値行列

全ての小行列式が正の実数であるような行列を全正値行列(totally positive matrix)という。

正定値行列(positive semidefinite matrix)とは異なる概念である。
全正値行列が対称行列なら正定値対称行列である。

表記

$n, p$を整数であって$1 \le p \le n$を満たすものとするとき、
\begin{align} I_p := \{\textbf{i} = (i_1, \ldots, i_p): 1 \le i_1 < \ldots < i_p \le n\} \subset \mathbb{Z}^p \end{align}
と定める。
$A = (a_{ij})_{i,j=1}^n \in \mathbb{R}^{n \times n}$を$n \times n$行列としたとき、$\textbf{i}, \textbf{j} \in I_p$について、
\begin{align} A_{[p]}(\textbf{i}, \textbf{j}):= A\binom{i_1, \ldots, i_p}{j_1, \ldots, j_p} = \det(a_{i_k, j_l})_{k,l=1}^p \in \mathbb{R} \end{align}
と定める。
$A$の $p$th compound matrix 　$A_{[p]}$を$\binom{n}{p} \times \binom{n}{p}$行列であって、成分が$A_{[p]}(\textbf{i}, \textbf{j})$であるものとする。($I_p$には辞書式順序を入れる)

compound matrixによって、正方行列$A$が全正値行列であることは、任意の$p \in \{1, \ldots, n\}$について$A_{[p]}$が正行列(全ての成分が正)であることと言い換えられる。

補題

$n \times n$行列$B, C, D$が$B=CD$を満たすとき、任意の$p \in \{1, \ldots, n\}$について$B_{[p]} = C_{[p]}D_{[p]}$が成り立つ。

Binet-Cauchyの公式そのままです。
日本語の記事が複数あります( Wikipedia や高校数学の美しい物語 )。

補題2

$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$を$n \times n$行列としその固有値を重複も考慮して$\lambda_1, \ldots, \lambda_n$とおく。
このとき$p \in \{1, \ldots, n\}$について$A_{[p]}$の$\binom{n}{p}$個の固有値は$1 \le i_1 < \ldots < i_p \le n$によって$\lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_p}$と書けるもので尽くされる。

$A$はある正則行列$P$と上三角行列$T$によって$A = P^{-1}TP$と表せる。
ここで$T$の対角成分には$A$の固有値が並んでいる。補題2を用いれば
\begin{align} A_{[p]} = (P^{-1})_{[p]}T_{[p]}P_{[p]} = (P_{[p]})^{-1}T_{[p]}P_{[p]}. \end{align}
上三角行列のcompound matrixもまた上三角行列となること、対角成分は$T$の$p$個の異なる対角成分の積で表せることがわかるので良い。

Perron–Frobenius theorem

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$を正行列とし$\rho(A) \ge 0$を固有値の絶対値の最大(スペクトル半径)とする。このとき、

$\rho(A)$は$A$の重複度1の固有値である(Frobenius根)
$\rho(A)$の固有ベクトルとして全ての成分が正のベクトルが取れる。
$\lambda \in \mathbb{C}$を$A$の$\rho(A)$ではない固有値としたとき$|\lambda| < \rho(A)$.

有名です。日本語の記事が複数あります( これやこれなど)。

定理の証明

$A$を$n \times n$全正値正方行列とする。
$A$の固有値を絶対値を$|\lambda_1| \ge \ldots \ge |\lambda_n| \ge 0$となるように並び替える。
$p = \{1, \ldots, n\}$についての帰納法で示せばよい。
まず$A_{[1]} = A$は正行列であるため、補題3より$\lambda_1 > \max\{0, |\lambda_2|\}$である。
次に$\lambda_1 > \ldots > \lambda_{p-1} > \max\{0, |\lambda_{p}|\}$ $(p < n)$を仮定すると、$A_{[p]}$について補題2の系および補題3を用いることで、$\lambda_1 \cdots \lambda_p$が$A_{[p]}$のFrobenius根であることがわかり、$\lambda_1 \cdots \lambda_p > \max\{0 ,|\lambda_1 \cdots \lambda_{p-1}\lambda_{p+1}|\}$、つまり$\lambda_{p} > \max\{0, |\lambda_{p+1}|\}$が導かれる。
最後に$\det A > 0$であることを思い出せば、$\lambda_1 > \ldots > \lambda_n > 0$となり証明が終了する。