マサチューセッツ工科大学積分大会のとある定積分2

\begin{align*} I&=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln\left(2e^{x}-1\right)}{e^{x}-1}dx \end{align*}

\begin{align*} I&=\int_{0}^{\infty}\frac{\ln\left(2e^{x}-1\right)}{e^{x}-1}dx\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\ln\left(\frac{2}{u}-1\right)}{\frac{1}{u}-1}\frac{1}{u}du\quad\because e^{-x}=u\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\ln(2-u)-\ln{u}}{1-u}du\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\ln(2-u)}{1-u}du-\int_{0}^{1}\frac{\ln{u}}{1-u}du\\ &=I_1-I_2 \end{align*}
$e^x$を含み、積分区間が$[0,\infty]$のときは$e^{-x}=u$と置くと区間がきれいになるので試す価値がありますね。実際、今回はそれが刺さりました。第一項目から計算しましょう。
\begin{align*} I_1&=\int_{0}^{1}\frac{\ln(2-u)}{1-u}du\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+y)}{y}dy\\ &=\int_{0}^{1}\frac{1}{k}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}y^kdy\\ &\overset{!}{=}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}\int_{0}^{1}y^{k-1}dy\\ &=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}\\ &=\frac{1}{2}\zeta(2)\\ &=\frac{\pi^2}{12} \end{align*}
おや、本当にゼータ関数が出てきましたね。もちろんわかってて言いましたけどね？(すっとぼけ)では$I_2$も計算していきましょう。
\begin{align*} I_2&=\int_{0}^{1}\frac{\ln{u}}{1-u}du\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\ln(1-y)}{y}dy\\ &=\int_{0}^{1}\frac{1}{y}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}(-y)^{k}dy\\ &=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\int_{0}^{1}y^{k-1}dy\\ &=-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\\ &=-\zeta(2)\\ &=-\frac{\pi^2}{6} \end{align*}
どっちもゼータ関数でしたね。こうなるなら、積分をばらさずに解く方法があったのかもしれません。まあ、解ければいいですね！最後にこれらから定まる$I$を計算して終わりましょう。
\begin{align*} I&=I_1-I_2\\ &=\frac{\pi^2}{12}+\frac{\pi^2}{6}\\ &=\frac{\pi^2}{4} \end{align*}