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科学大数学系院試過去問解答例(2024午前02)

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ここでは科学大数学系の修士課程の院試の2024午前02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2024午前02

nを正の自然数とし、Mn(R)を実成分n×n行列全体の為すR線型空間とする。

  1. 任意のR線型写像f:Mn(R)Rは、あるAMn(R)を用いてf(X)=Tr(AX)と書けることを示しなさい。
  2. 任意のA,BMn(R)に対してg(AB)=g(BA)になるような線型写像g:Mn(R)Rを全て求めなさい。
  3. Mnの部分集合
    {ABBA|A,BMn(R)}
    で生成される部分線型空間をVとする。dimRVを計算しなさい。
  1. まず(i,j)成分が1、それ以外が0の行列をAi,jとし、
    aij=f(Ai,j)
    とおく。ここで行列AA=(aji)i,j、つまり(i,j)成分がajiであるような行列とおくと、f(X)=Tr(AX)が満たされている。
  2. gが行列Sを用いてg(X)=Tr(SX)と表されたとする。このとき任意の行列A,Bに対して
    Tr(SAB)=Tr(SBA)
    を満たす必要がある。これが満たされるのはSがスカラー行列のときだけである。よって求める線型写像は
    ga(X)=aTr(X)
    で尽くされている(但しaは実数全体を走る)。
  3. 線型写像g1:Mn(R)Rをとる。このとき
    dimRKerg1=n21
    であり、Vはこの空間に含まれるからdimRn21である。一方相異なるi,jに対して、ki,jなるkを取れば
    Ai,j=Ai,kAk,jAk,jAi,k
    であり、また
    Ai,iAi+1,i+1=Ai,i+1Ai+1,iAi+1,iAi,i+1
    であるから、Vは対角成分が0の行列たち・対角成分の和が0の行列たち全てを含むからdimRVn21である。以上からdimRV=n21である。
投稿日:2024104
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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