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高校数学解説
シルベスター数列を含む変な関数列
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$$\newcommand{genprodsum}[4]{{}^{#3}\!\!\underset{#1}{\overset{#2}{\Large \triangle{}}}#4}
\newcommand{gprod}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\prod{}}}#3}
\newcommand{gsum}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\sum{}}}#3}
\newcommand{prodsum}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\huge \triangledown{}}}#3}
\newcommand{sumprod}[3]{\underset{#1}{\overset{#2}{\huge \triangle{}}}#3}
$$
なんか発見した
積分の練習してたらなんか見つけた
発見したもの
以下の漸化式
$$ f_{n+1}(x) = f_n(\int^x_0f_n(t)dt), \space f_0(x)=x $$
に対して、その一般項は
$$ f_n = \left( \frac{1}{\prod^{n}_{j=0}s_j^{\frac{1}{s_j}}} x \right) ^{s_{n+1} - 1} $$
となる。
ただし、$s_n$はシルベスター数列($s_{n+1} = 1- \prod^n_{i=0}s_i, \space s_0 = 1$)
具体例
$f_1 = \frac{1}{2}x^2$
$f_2 = \frac{1}{2}(\int^x_0\frac{1}{2}t^2dt)^2 = \frac{1}{2^3 \cdot 3^2}x^{2 \cdot 3}$
$f_3 = \frac{1}{2^3 \cdot 3^2}(\int^x_0\frac{1}{2^3 \cdot 3^2}t^{2 \cdot 3}dt)^{2 \cdot 3} = \frac{1}{2^{3\cdot 7} \cdot 3^{2\cdot 7} \cdot 7^{2 \cdot 3}}x^{2 \cdot 3 \cdot 7}$
証明
証明なんてないよ
※数学的帰納法でできると思います
おわり
ではまた～
投稿日：3月29日
更新日：4月9日
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