シルベスター数列を含む変な関数列

なんか発見した

積分の練習してたらなんか見つけた

発見したもの

以下の漸化式

に対して、その一般項は

となる。
ただし、$s_n$はシルベスター数列($s_{n+1} = 1- \prod^n_{i=0}s_i, \space s_0 = 1$)

具体例

$f_1 = \frac{1}{2}x^2$
$f_2 = \frac{1}{2}(\int^x_0\frac{1}{2}t^2dt)^2 = \frac{1}{2^3 \cdot 3^2}x^{2 \cdot 3}$
$f_3 = \frac{1}{2^3 \cdot 3^2}(\int^x_0\frac{1}{2^3 \cdot 3^2}t^{2 \cdot 3}dt)^{2 \cdot 3} = \frac{1}{2^{3\cdot 7} \cdot 3^{2\cdot 7} \cdot 7^{2 \cdot 3}}x^{2 \cdot 3 \cdot 7}$

証明

証明なんてないよ
※数学的帰納法でできると思います

おわり

ではまた～