高校数学解説

シルベスター数列を含む変な関数列

積分,シルベスター数列,数列

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なんか発見した

積分の練習してたらなんか見つけた

発見したもの

以下の漸化式

$f_{n + 1} (x) = f_{n} (\int_{0}^{x} f_{n} (t) d t), f_{0} (x) = x$

に対して、その一般項は

$f_{n} = {(\frac{1}{\prod_{j = 0}^{n} s_{j}^{\frac{1}{s_{j}}}} x)}^{s_{n + 1}}$

となる。
ただし、 $s_{n}$ はシルベスター数列( $s_{n + 1} = 1 + \prod_{i = 0}^{n} s_{i}, s_{0} = 2$ )

具体例

$f_{1} = \frac{1}{2} x^{2}$
$f_{2} = \frac{1}{2} (\int_{0}^{x} \frac{1}{2} t^{2} d t)^{2} = \frac{1}{2^{3} \cdot 3^{2}} x^{2 \cdot 3}$
$f_{3} = \frac{1}{2^{3} \cdot 3^{2}} (\int_{0}^{x} \frac{1}{2^{3} \cdot 3^{2}} t^{2 \cdot 3} d t)^{2 \cdot 3} = \frac{1}{2^{3 \cdot 7} \cdot 3^{2 \cdot 7} \cdot 7^{2 \cdot 3}} x^{2 \cdot 3 \cdot 7}$