高校数学解説

シルベスター数列を含む変な関数列

積分,シルベスター数列,数列

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なんか発見した

積分の練習してたらなんか見つけた

発見したもの

以下の漸化式

$$ f_{n+1}(x) = f_n(\int^x_0f_n(t)dt), \space f_0(x)=x $$

に対して、その一般項は

$$ f_n = \left( \frac{1}{\prod^{n}_{j=0}s_j^{\frac{1}{s_j}}} x \right) ^{s_{n+1} - 1} $$

となる。
ただし、$s_n$はシルベスター数列($s_{n+1} = 1- \prod^n_{i=0}s_i, \space s_0 = 1$)

具体例

$f_1 = \frac{1}{2}x^2$
$f_2 = \frac{1}{2}(\int^x_0\frac{1}{2}t^2dt)^2 = \frac{1}{2^3 \cdot 3^2}x^{2 \cdot 3}$
$f_3 = \frac{1}{2^3 \cdot 3^2}(\int^x_0\frac{1}{2^3 \cdot 3^2}t^{2 \cdot 3}dt)^{2 \cdot 3} = \frac{1}{2^{3\cdot 7} \cdot 3^{2\cdot 7} \cdot 7^{2 \cdot 3}}x^{2 \cdot 3 \cdot 7}$