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有限整域は体である

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簡単に自己紹介

こんにちは. Anko7919です. あんこをつかったお菓子(どらやき, 羊羹など)が好きなひとです. 本を読んだりして独学で数学(主に代数学)を勉強しています. なので, 間違いや勘違いなどがあるかもしれませんが, そのときは優しく教えていただければ幸いです.

整域・体

整域と体の定義をまとめておきます.

零因子・整域

$R$ を可換環とする.

$a \in R$ が零因子であるとは, ある $0 \neq b \in R$ が存在して $a b = 0$ となることである. 零因子でない元を非零因子という.
$R$ の零因子が $0$ のみのとき, 整域(integral domain)であるという.

体

可換環 $R$ の単元(逆元をもつ元)の全体を $U (R)$ とする. $U (R) = R ∖ {0}$ のとき, $R$ を体という.

有限整域は体である

今回証明するのは, 次のことです.

有限整域は体である.

$R$ は有限整域であるとする. 任意の $0$ でない $a \in R$ に対し $φ_{a} : R \to R, x \mapsto a x$ は全単射である. 実際, $R$ は整域だから簡約法則 $a x = a y ⟺ x = y$ が成り立ち, したがって $φ_{a}$ は単射, よって全射でもあり, ゆえに $a x = φ_{a} (x) = 1$ となる $x \in R$ が存在する. この $x$ が $a$ の逆元である.