次の定理の証明について悩んでいます。
$A$を順序数からなる集合とすると、$(A,\subset)$は整列集合となる。
この定理の証明は次のようになっています。
$S\subset A,S\neq\phi$のとき$\min S$が存在することが示されればよい．$\alpha\in S$とし$s=\left\{\beta\in S|\beta\ \subsetneqq\alpha\right\}$とすれば，$s=\left\{\beta\in S|\beta\in\alpha\right\}$なので，$s=\alpha\cap S$．ゆえに$s\neq\phi$ならば，$\alpha$は$\subset$に関して整列集合だから，$\gamma=\min s$が存在する．$A$が全順序集合，したがって$S$も全順序集合となることから，このとき$\gamma=\min S$となる．また$\alpha\cap S=\phi$ならば明らかに$\alpha=\min S$となる．
ここで私が分からないのは，$\gamma=\min s=\min S$となることです．というのも，これは$S$が無限集合である場合でも本当に成り立つのでしょうか．$S$が無限集合である場合には，$(\mathbb{Z,\leq)}$が全順序であるが整列集合とはならないように，$\min S$が存在しないのではないかと考えてしまっています．というかそもそも$S$が無限集合である場合は存在するのでしょうか．
どなたか教えてください！！！
厳密性に関するのであればどのような厳しい言い方であってもけっこうです