教えてください！！　岩波基礎数学　集合と位相Ⅰ

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次の定理の証明について悩んでいます。

$A$ を順序数からなる集合とすると、 $(A, \subset)$ は整列集合となる。

この定理の証明は次のようになっています。

$S \subset A, S \neq ϕ$ のとき $min S$ が存在することが示されればよい． $α \in S$ とし $s = {β \in S | β ⫋ α}$ とすれば， $s = {β \in S | β \in α}$ なので， $s = α \cap S$ ．ゆえに $s \neq ϕ$ ならば， $α$ は $\subset$ に関して整列集合だから， $γ = min s$ が存在する． $A$ が全順序集合，したがって $S$ も全順序集合となることから，このとき $γ = min S$ となる．また $α \cap S = ϕ$ ならば明らかに $α = min S$ となる．

ここで私が分からないのは， $γ = min s = min S$ となることです．というのも，これは $S$ が無限集合である場合でも本当に成り立つのでしょうか． $S$ が無限集合である場合には， $(Z, \leq)$ が全順序であるが整列集合とはならないように， $min S$ が存在しないのではないかと考えてしまっています．というかそもそも $S$ が無限集合である場合は存在するのでしょうか．