代数学 #1 群と環の定義とその具体例
代数学 #1 群と環の定義とその具体例
はじめに
こんにちはuchです～。最近は記事をあげる気合いが高まっているのでなんか頻度が高いですね。
今回は代数学です。身内の中での自主ゼミで使うために記事を書いている節もあるため、ご承知おきください。
前提知識
集合論で学ぶ記号などは一通り知っているものとしますが、初出のものは適宜解説をしながら使用します。あとは特に必要な知識はありません。
群の定義
$G$を集合とする。集合上に二項演算$* : G \times G \to G$が定められており、以下の性質を満たしているとき、$G$は群であるという。以下、$g \in G$とする。
- 単位元$e \in G$が存在する。すなわち、$ \exists e \in G, \forall g\in G, \space g * e = e * g = g$
- 任意の元$g$に対して、逆元$g ^{-1}$が一位に存在する。すなわち、$\forall g \in G, \exists! g^{-1} \in G, \space g * g^{-1} = g^{-1}*g = e$
- 結合法則が成り立つ。すなわち、$ \forall a, b, c \in G, \space a * (b * c) = (a*b)*c$
こんな感じですね。演算の記号は何でもいいのですが、その演算結果を積と呼びます。（それが掛け算かどうかはまた別のお話）
ちなみに余談ですが、群上のすべての元$a, b$に対して$ab = ba$が成り立つときこれを可換であると言い、群自体を可換群やアーベル群と呼びます。かっこいいね。
何も言わずに今使いましたが、演算が$*$であることが明示的にわかっているときには、$a * b$を$ab$と書きます。
環の定義
Rを集合とする。集合上に2つの二項演算$+: R \times R \to R$（加法）
および$*: R \times R \to R$（乗法）が定められており、以下の性質を満たしているとき、$R$は環であるという。以下、$a,b,c∈R$とする。
- 加法に関して可換群（アーベル群）をなす。すなわち、結合法則、交換法則が成り立ち、加法単位元$0$および、任意の元$a$に対して加法逆元$-a$が存在する。
- 乗法に関して結合法則が成り立つ。すなわち、
$∀a,b,c∈R, (a*b)*c=a*(b*c)$ - 乗法単位元1∈Rが存在する。すなわち、$∃1∈R,∀a∈R, a*1=1*a=a$
- 分配法則が成り立つ。すなわち、
$∀a,b,c∈R, a*(b+c)=a*b+a*c, (a+b)*c=a*c+b*c$
今回は加法に関しての単位元を$0$、乗法に関しての単位元を$1$として書いてみました。数ではなく記号としてこれらを用いていることに注意してください。またこれを$1_{R}$のようにどの環の単位元かを明示的に書く場合もあります。
また、群の時と同様に、$a * b = b * a$がすべての$a, b$で成り立つならば、これを可換環といいます。語呂が気持ちいいですな。
環の定義一つ目から、環$R$はすべて$a + b = b +a$を満たすことは注意してください。
剰余環$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$
お次は剰余環$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$です。
ちなみにふつうはもっと群の具体例などに触れて慣れてからこいつを示すのですが、まあ問題ないでしょう。
では、解説していきます。
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$の元は、整数を$n$で割ったあまりの同値類です。すなわち、
$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$={${[0], [1], [2], ..., [n-2], [n-1]}$}
そして、具体的には
$[0] = 0, n, 2n, 3n...$
$[1] = 1, n+1, 2n+1...$
ですね。つまり$n$で割って余りが等しいものグループをいっぱい集めてみた！みたいな感じです。
例えば、$n=2$の世界では$ 5$も$7 $も同じものとして扱います。なぜならどちらもあまりが$1$だから。
以下、$n$を法とします。
まず、$a≡a′$ と $b≡b′$ という仮定からスタートします。
これってつまり、「$a$ と $a′$ の差は $n$の倍数」ってことなので、整数 $k,l$ を使って次のように等式で書けますよね。
$a=a′+kn,b=b′+ln$
この形に直してから、実際に足し算と掛け算を計算してみると分かりやすいです。
- 足し算 $(a+b)$ について
さっきの式を代入して計算してみます。
$a+b=(a′+kn)+(b′+ln)=(a′+b′)+(kn+ln)=(a′+b′)+n(k+l)$
これを見ると、$(a+b)$ というのは、$(a′+b′)$ に「$n$の倍数」がくっついているだけですよね。 つまり、$n$ で割ったときの余りは $(a′+b′)$と同じになるので、
$(a+b)≡(a′+b′)$
と言えます。
また、自明ですが$a + 0 \equiv a$で$[0]$が単位元、任意の２整数で個の演算は可換です。
逆元の存在ですが、$a + (n-a) = a \equiv 0$ですから、これが逆元ですね。
以上で上の定義による足し算について可換群になることはわかりました。
- 掛け算 $(a*b)$ について
こっちも同じように代入して展開してみましょう。
$a*b=(a′+kn)(b′+ln)=a′b′+a′ln+b′kn+kln^2$
ちょっと項が多いですけど、a′b′ 以外の項をよく見てください。全部に $n$ が含まれていますよね？ なので、$n$でくくっちゃいます。
$a*b=a′b′+n(a′l+b′k+kln)$
カッコの中身 $(a′l+b′k+kln)$ は全部整数なので、結局これも$a′b′$ に「$n$ の倍数」が足されているだけです。 ということは、余りの世界では同じ扱いになるので、
$(a*b)≡(a′*b′)$
が成り立ちます。
$1$を書けることを考えたら$a * 1 \equiv a$ ですから、$[1]$が乗法的単位元ですね。掛け算についても可換ですし、先の議論と同様にすれば分配法則も示せます。
よって上記から$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$は可換環になる。
終わりに
眠いので寝ます。次回は何をしましょうか。
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