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Baileyの6ψ6和公式

次の公式は古典的な両側 $q$ 超幾何級数の和公式の中で最も一般的な公式である.

Baileyの

_{6} ψ_{6}

和公式

$\begin{aligned} _{6} ψ_{6} [\begin{array}{c} \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e \end{array}; \frac{a^{2} q}{b c d e}] \\ = \frac{(a q, a q / b c, a q / b d, a q / b e, a q / c d, a q / c e, a q / d e, q, q / a; q)_{\infty}}{(a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, q / b, q / c, q / d, q / e, a^{2} q / b c d e; q)_{\infty}} \end{aligned}$

次はM. Schlosserによって2002年に与えられた証明である.

まず, Rogersの $_{6} ϕ_{5}$ 和公式より,
$\begin{array}{r} _{6} ψ_{5} [\begin{array}{c} c / a, \sqrt{c / a} q, - \sqrt{c / a} q, b / a, c q^{n}, c q^{- n} / a \\ \sqrt{c / a}, - \sqrt{c / a}, c q / b, q^{1 - n} / a, q^{1 + n} \end{array}; \frac{a q}{b c}] = \frac{(c q / a, q^{1 - n} / b, a q^{n + 1} / b, q / c; q)_{\infty}}{(c q / b, q^{1 - n} / a, q^{n + 1}, a q / b c; q)_{\infty}} \end{array}$
が成り立つ. これを整理すると,
$\begin{array}{r} \frac{(c q / b, q / a, q, a q / b c; q)_{\infty}}{(c q / a, q / b, a q / b, q / c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{1 - c q^{2 k} / a}{1 - c / a} \frac{(c / a, b / a; q)_{k} (c; q)_{n + k} (a; q)_{n - k}}{(q, c q / b; q)_{k} (q; q)_{n + k} (a q / c; q)_{n - k}} {(\frac{a}{b})}^{k} = \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a}{b})}^{n} \end{array}$
を得る. これより,
$\begin{aligned} _{6} ψ_{6} [\begin{array}{c} \sqrt{a} q, - \sqrt{a} q, b, c, d, e \\ \sqrt{a}, - \sqrt{a}, a q / b, a q / c, a q / d, a q / e \end{array}; \frac{a^{2} q}{b c d e}] \\ = \frac{(c q / b, q / a, q, a q / b c; q)_{\infty}}{(c q / a, q / b, a q / b, q / c; q)_{\infty}} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(d, e; q)_{n}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}} {(\frac{a q}{c d e})}^{n} \\ \cdot \sum_{0 \leq k} \frac{1 - c q^{2 k} / a}{1 - c / a} \frac{(c / a, b / a; q)_{k} (c; q)_{n + k} (a; q)_{n - k}}{(q, c q / b; q)_{k} (q; q)_{n + k} (a q / c; q)_{n - k}} {(\frac{a}{b})}^{k} \\ = \frac{(c q / b, q / a, q, a q / b c; q)_{\infty}}{(c q / a, q / b, a q / b, q / c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{1 - c q^{2 k} / a}{1 - c / a} \frac{(c / a, b / a; q)_{k}}{(q, c q / b; q)_{k}} {(\frac{a}{b})}^{k} \\ \cdot \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(d, e; q)_{n}}{(a q / d, a q / e; q)_{n}} \frac{(c; q)_{n + k} (a; q)_{n - k}}{(q; q)_{n + k} (a q / c; q)_{n - k}} {(\frac{a q}{c d e})}^{n} \\ = \frac{(c q / b, q / a, q, a q / b c; q)_{\infty}}{(c q / a, q / b, a q / b, q / c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{1 - c q^{2 k} / a}{1 - c / a} \frac{(c / a, b / a; q)_{k}}{(q, c q / b; q)_{k}} {(\frac{a}{b})}^{k} \\ \cdot \sum_{0 \leq n} \frac{1 - a q^{2 n - 2 k}}{1 - a} \frac{(d, e; q)_{n - k}}{(a q / d, a q / e; q)_{n - k}} \frac{(c; q)_{n} (a; q)_{n - 2 k}}{(q; q)_{n} (a q / c; q)_{n - 2 k}} {(\frac{a q}{c d e})}^{n - k} \\ = \frac{(c q / b, q / a, q, a q / b c; q)_{\infty}}{(c q / a, q / b, a q / b, q / c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{1 - c q^{2 k} / a}{1 - c / a} \frac{(c / a, b / a; q)_{k}}{(q, c q / b; q)_{k}} {(\frac{c d e}{b q})}^{k} \frac{1 - a q^{- 2 k}}{1 - a} \frac{(d, e; q)_{- k} (a; q)_{- 2 k}}{(a q / d, a q / e; q)_{- k} (a q / c; q)_{- 2 k}} \\ \cdot \sum_{0 \leq n} \frac{1 - a q^{2 n - 2 k}}{1 - a q^{- 2 k}} \frac{(a q^{- 2 k}, c, d q^{- k}, e q^{- k}; q)_{n}}{(q, a q^{1 - 2 k} / c, a q^{1 - k} / d, a q^{1 - k} / e; q)_{n}} {(\frac{a q}{c d e})}^{n} \end{aligned}$
ここで, Rogersの $_{6} ϕ_{5}$ 和公式より
$\begin{array}{r} \sum_{0 \leq n} \frac{1 - a q^{2 n - 2 k}}{1 - a q^{- 2 k}} \frac{(a q^{- 2 k}, c, d q^{- k}, e q^{- k}; q)_{n}}{(q, a q^{1 - 2 k} / c, a q^{1 - k} / d, a q^{1 - k} / e; q)_{n}} {(\frac{a q}{c d e})}^{n} = \frac{(a q^{1 - 2 k}, a q^{1 - k} / c d, a q^{1 - k} / c e, a q / d e; q)_{\infty}}{(a q^{1 - 2 k} / c, a q^{1 - k} / d, a q^{1 - k} / e, a q / c d e; q)_{\infty}} \end{array}$
であるから,
$\begin{aligned} \frac{(c q / b, q / a, q, a q / b c; q)_{\infty}}{(c q / a, q / b, a q / b, q / c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{1 - c q^{2 k} / a}{1 - c / a} \frac{(c / a, b / a; q)_{k}}{(q, c q / b; q)_{k}} {(\frac{c d e}{b q})}^{k} \frac{1 - a q^{- 2 k}}{1 - a} \frac{(d, e; q)_{- k} (a; q)_{- 2 k}}{(a q / d, a q / e; q)_{- k} (a q / c; q)_{- 2 k}} \\ \cdot \sum_{0 \leq n} \frac{1 - a q^{2 n - 2 k}}{1 - a q^{- 2 k}} \frac{(a q^{- 2 k}, c, d q^{- k}, e q^{- k}; q)_{n}}{(q, a q^{1 - 2 k} / c, a q^{1 - k} / d, a q^{1 - k} / e; q)_{n}} {(\frac{a q}{c d e})}^{n} \\ = \frac{(c q / b, q / a, q, a q / b c; q)_{\infty}}{(c q / a, q / b, a q / b, q / c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{1 - c q^{2 k} / a}{1 - c / a} \frac{(c / a, b / a; q)_{k}}{(q, c q / b; q)_{k}} {(\frac{c d e}{b q})}^{k} \frac{1 - a q^{- 2 k}}{1 - a} \frac{(d, e; q)_{- k} (a; q)_{- 2 k}}{(a q / d, a q / e; q)_{- k} (a q / c; q)_{- 2 k}} \\ \cdot \frac{(a q^{1 - 2 k}, a q^{1 - k} / c d, a q^{1 - k} / c e, a q / d e; q)_{\infty}}{(a q^{1 - 2 k} / c, a q^{1 - k} / d, a q^{1 - k} / e, a q / c d e; q)_{\infty}} \\ = \frac{(c q / b, q / a, q, a q / b c, a q, a q / c d, a q / c e, a q / d e; q)_{\infty}}{(c q / a, q / b, a q / b, q / c, a q / c, a q / d, a q / e, a q / c d e; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{1 - c q^{2 k} / a}{1 - c / a} \frac{(c / a, b / a, c d / a, c e / a; q)_{k}}{(q, c q / b, q / d, q / e; q)_{k}} {(\frac{a^{2} q}{b c d e})}^{k} \end{aligned}$
と計算できる. ここで再びRogersの $_{6} ϕ_{5}$ 和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{1 - c q^{2 k} / a}{1 - c / a} \frac{(c / a, b / a, c d / a, c e / a; q)_{k}}{(q, c q / b, q / d, q / e; q)_{k}} {(\frac{a^{2} q}{b c d e})}^{k} & = \frac{(c q / a, a q / b d, a q / b e, a q / c d e; q)_{\infty}}{(c q / b, q / d, q / e, a^{2} q / b c d e; q)_{\infty}} \end{aligned}$
であることから定理を得る.