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現代数学解説
文献あり

Baileyの6ψ6和公式

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{BQ}[5]{{}_{#1}\psi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

次の公式は古典的な両側$q$超幾何級数の和公式の中で最も一般的な公式である.

Baileyの${}_6\psi_6$和公式

\begin{align} &\BQ66{\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e}{\frac{a^2q}{bcde}}\\ &=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/cd,aq/ce,aq/de,q,q/a;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,q/b,q/c,q/d,q/e,a^2q/bcde;q)_{\infty}} \end{align}

次はM. Schlosserによって2002年に与えられた証明である.

まず, Rogersの${}_6\phi_5$和公式 より,
\begin{align} \BQ65{c/a,\sqrt{c/a}q,-\sqrt{c/a}q,b/a,cq^n,cq^{-n}/a}{\sqrt{c/a},-\sqrt{c/a},cq/b,q^{1-n}/a,q^{1+n}}{\frac{aq}{bc}}=\frac{(cq/a,q^{1-n}/b,aq^{n+1}/b,q/c;q)_{\infty}}{(cq/b,q^{1-n}/a,q^{n+1},aq/bc;q)_{\infty}} \end{align}
が成り立つ. これを整理すると,
\begin{align} \frac{(cq/b,q/a,q,aq/bc;q)_{\infty}}{(cq/a,q/b,aq/b,q/c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1-cq^{2k}/a}{1-c/a}\frac{(c/a,b/a;q)_k(c;q)_{n+k}(a;q)_{n-k}}{(q,cq/b;q)_k(q;q)_{n+k}(aq/c;q)_{n-k}}\left(\frac ab\right)^k=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac ab\right)^n \end{align}
を得る. これより,
\begin{align} &\BQ66{\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e}{\frac{a^2q}{bcde}}\\ &=\frac{(cq/b,q/a,q,aq/bc;q)_{\infty}}{(cq/a,q/b,aq/b,q/c;q)_{\infty}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(d,e;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\left(\frac{aq}{cde}\right)^n\\ &\cdot\sum_{0\leq k}\frac{1-cq^{2k}/a}{1-c/a}\frac{(c/a,b/a;q)_k(c;q)_{n+k}(a;q)_{n-k}}{(q,cq/b;q)_k(q;q)_{n+k}(aq/c;q)_{n-k}}\left(\frac ab\right)^k\\ &=\frac{(cq/b,q/a,q,aq/bc;q)_{\infty}}{(cq/a,q/b,aq/b,q/c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1-cq^{2k}/a}{1-c/a}\frac{(c/a,b/a;q)_k}{(q,cq/b;q)_k}\left(\frac ab\right)^k\\ &\cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(d,e;q)_n}{(aq/d,aq/e;q)_n}\frac{(c;q)_{n+k}(a;q)_{n-k}}{(q;q)_{n+k}(aq/c;q)_{n-k}}\left(\frac{aq}{cde}\right)^n\\ &=\frac{(cq/b,q/a,q,aq/bc;q)_{\infty}}{(cq/a,q/b,aq/b,q/c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1-cq^{2k}/a}{1-c/a}\frac{(c/a,b/a;q)_k}{(q,cq/b;q)_k}\left(\frac ab\right)^k\\ &\cdot \sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n-2k}}{1-a}\frac{(d,e;q)_{n-k}}{(aq/d,aq/e;q)_{n-k}}\frac{(c;q)_{n}(a;q)_{n-2k}}{(q;q)_{n}(aq/c;q)_{n-2k}}\left(\frac{aq}{cde}\right)^{n-k}\\ &=\frac{(cq/b,q/a,q,aq/bc;q)_{\infty}}{(cq/a,q/b,aq/b,q/c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1-cq^{2k}/a}{1-c/a}\frac{(c/a,b/a;q)_k}{(q,cq/b;q)_k}\left(\frac{cde}{bq}\right)^k\frac{1-aq^{-2k}}{1-a}\frac{(d,e;q)_{-k}(a;q)_{-2k}}{(aq/d,aq/e;q)_{-k}(aq/c;q)_{-2k}}\\ &\cdot \sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n-2k}}{1-aq^{-2k}}\frac{(aq^{-2k},c,dq^{-k},eq^{-k};q)_{n}}{(q,aq^{1-2k}/c,aq^{1-k}/d,aq^{1-k}/e;q)_n}\left(\frac{aq}{cde}\right)^{n} \end{align}
ここで, Rogersの${}_6\phi_5$和公式より
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n-2k}}{1-aq^{-2k}}\frac{(aq^{-2k},c,dq^{-k},eq^{-k};q)_{n}}{(q,aq^{1-2k}/c,aq^{1-k}/d,aq^{1-k}/e;q)_n}\left(\frac{aq}{cde}\right)^{n}=\frac{(aq^{1-2k},aq^{1-k}/cd,aq^{1-k}/ce,aq/de;q)_{\infty}}{(aq^{1-2k}/c,aq^{1-k}/d,aq^{1-k}/e,aq/cde;q)_{\infty}} \end{align}
であるから,
\begin{align} &\frac{(cq/b,q/a,q,aq/bc;q)_{\infty}}{(cq/a,q/b,aq/b,q/c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1-cq^{2k}/a}{1-c/a}\frac{(c/a,b/a;q)_k}{(q,cq/b;q)_k}\left(\frac{cde}{bq}\right)^k\frac{1-aq^{-2k}}{1-a}\frac{(d,e;q)_{-k}(a;q)_{-2k}}{(aq/d,aq/e;q)_{-k}(aq/c;q)_{-2k}}\\ &\cdot \sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n-2k}}{1-aq^{-2k}}\frac{(aq^{-2k},c,dq^{-k},eq^{-k};q)_{n}}{(q,aq^{1-2k}/c,aq^{1-k}/d,aq^{1-k}/e;q)_n}\left(\frac{aq}{cde}\right)^{n}\\ &=\frac{(cq/b,q/a,q,aq/bc;q)_{\infty}}{(cq/a,q/b,aq/b,q/c;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1-cq^{2k}/a}{1-c/a}\frac{(c/a,b/a;q)_k}{(q,cq/b;q)_k}\left(\frac{cde}{bq}\right)^k\frac{1-aq^{-2k}}{1-a}\frac{(d,e;q)_{-k}(a;q)_{-2k}}{(aq/d,aq/e;q)_{-k}(aq/c;q)_{-2k}}\\ &\cdot \frac{(aq^{1-2k},aq^{1-k}/cd,aq^{1-k}/ce,aq/de;q)_{\infty}}{(aq^{1-2k}/c,aq^{1-k}/d,aq^{1-k}/e,aq/cde;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(cq/b,q/a,q,aq/bc,aq,aq/cd,aq/ce,aq/de;q)_{\infty}}{(cq/a,q/b,aq/b,q/c,aq/c,aq/d,aq/e,aq/cde;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{1-cq^{2k}/a}{1-c/a}\frac{(c/a,b/a,cd/a,ce/a;q)_k}{(q,cq/b,q/d,q/e;q)_k}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^k \end{align}
と計算できる. ここで再びRogersの${}_6\phi_5$和公式より,
\begin{align} \sum_{0\leq k}\frac{1-cq^{2k}/a}{1-c/a}\frac{(c/a,b/a,cd/a,ce/a;q)_k}{(q,cq/b,q/d,q/e;q)_k}\left(\frac{a^2q}{bcde}\right)^k&=\frac{(cq/a,aq/bd,aq/be,aq/cde;q)_{\infty}}{(cq/b,q/d,q/e,a^2q/bcde;q)_{\infty}} \end{align}
であることから定理を得る.

同様の方法で, Dougallの${}_2H_2$和公式や, Ramanujanの${}_1\psi_1$和公式も示すことができるようだ.

参考文献

[1]
Michael Schlosser, A simple proof of Bailey's very-well-poised 6ψ6 summation, Proc. Amer. Math. Soc., 2002, 1113-1123
投稿日:12日前
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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