Dougallの2H2和公式のOslerによる一般化
Dougallの${}_2H_2$和公式
は
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac 1{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)\Gamma(c-n)\Gamma(d-n)}&=\frac{\Gamma(a+b+c+d-3)}{\Gamma(a+c-1)\Gamma(a+d-1)\Gamma(b+c-1)\Gamma(b+d-1)}
\end{align}
と表される. その積分類似としてRamanujanによって
\begin{align}
\int_{-\infty}^{\infty}\frac {dx}{\Gamma(a+x)\Gamma(b+x)\Gamma(c-x)\Gamma(d-x)}&=\frac{\Gamma(a+b+c+d-3)}{\Gamma(a+c-1)\Gamma(a+d-1)\Gamma(b+c-1)\Gamma(b+d-1)}
\end{align}
が示されている. これらの等式を補間するような結果がOslerによって示されており, それは以下のようになる.
$0<\alpha\leq 1$のとき,
\begin{align}
\alpha\sum_{n\in\ZZ}\frac 1{\Gamma(a+\alpha n)\Gamma(b+\alpha n)\Gamma(c-\alpha n)\Gamma(d-\alpha n)}&=\frac{\Gamma(a+b+c+d-3)}{\Gamma(a+c-1)\Gamma(a+d-1)\Gamma(b+c-1)\Gamma(b+d-1)}
\end{align}
が成り立つ.
$\alpha=1$とするとDougallの${}_2H_2$和公式であり, $\alpha\to 0$とすると区分求積法よりRamanujanの公式に一致する.
証明の前に, まず次の定理を示す.
$0<\alpha\leq 1, -\pi< x<\pi$のとき,
\begin{align}
\alpha\sum_{n\in\ZZ}\frac{\Gamma(a+b-1)}{\Gamma(a+\alpha n)\Gamma(b-\alpha n)}e^{inx}&=\begin{cases}
(1+e^{ix/\alpha})^{a+b-2}e^{i(1-a)x/\alpha}\qquad-\alpha\pi< x<\alpha\pi\\
0\qquad \mathrm{otherwise}
\end{cases}
\end{align}
が成り立つ.
右辺の関数を$f(x)$として. そのFourier級数展開
\begin{align}
f(x)&=\sum_{n\in\ZZ}c_ne^{inx}
\end{align}
を考える. $c_n$は
\begin{align}
c_n&=\frac 1{2\pi }\int_{-\alpha\pi}^{\alpha \pi}(1+e^{ix/\alpha})^{a+b-2}e^{i(1-a)t/\alpha}\cdot e^{-int}\,dt\\
&=\frac{\alpha}{2\pi i}\int_{C}(1+u)^{a+b-2}u^{-a-\alpha n}\,du\qquad u=e^{it/\alpha}
\end{align}
と書ける. ここで, $C$は$-1$から単位円上を反時計回りに1周する積分路とする. ここで, $C$を$(e^{-i\pi},-\varepsilon)$と半径$\varepsilon$の単位円と$(-\varepsilon,e^{i\pi})$をつなげたものに変形して$\varepsilon\to 0$とすると, $0<\Re(A),\Re(B)$となるものに対して,
\begin{align}
\frac 1{2\pi i}\int_C(1+u)^{B-1}u^{A-1}\,du&=\frac{e^{i\pi A}-e^{-i\pi A}}{2\pi i}\int_0^1(1-u)^{B-1}u^{A-1}\,du\\
&=\frac{\sin\pi A}{\pi}\frac{\Gamma(A)\Gamma(B)}{\Gamma(A+B)}\\
&=\frac{\Gamma(B)}{\Gamma(1-A)\Gamma(A+B)}
\end{align}
となり, 解析接続によってこの公式は$B$が$0$以下の整数でないような一般の複素数$A,B$に対しても成り立つ. よって,
\begin{align}
c_n=\frac{\alpha}{2\pi i}\int_{C}(1+u)^{a+b-2}u^{-a-\alpha n}\,du&=\alpha\frac{\Gamma(a+b-1)}{\Gamma(a+\alpha n)\Gamma(b-\alpha n)}
\end{align}
となって示すべき結果を得る.
これを用いると定理1を示すことができる.
定理1とParsevalの等式より,
\begin{align}
&\alpha^2\sum_{n\in\ZZ}\frac{\Gamma(a+c-1)\Gamma(b+d-1)}{\Gamma(a+\alpha n)\Gamma(b+\alpha n)\Gamma(c-\alpha n)\Gamma(d-\alpha n)}\\
&=\frac 1{2\pi}\int_{-\alpha\pi}^{\alpha\pi}(1+e^{ix/\alpha})^{a+c-2}e^{i(1-a)x/\alpha}\cdot (1+e^{-ix/\alpha})^{b+d-2}e^{-i(1-b)x/\alpha}\,dx\\
&=\frac 1{2\pi}\int_{-\alpha\pi}^{\alpha\pi}(1+e^{ix/\alpha})^{a+b+c+d-4}e^{i(2-a-b)x/\alpha}\,dx\\
&=\frac{\alpha}{2\pi i}\int_{C}(1+u)^{a+b+c+d-4}u^{1-a-b}\,du\qquad u=e^{ix/\alpha}
\end{align}
ここで, $C$は先ほどと同じ積分路で, 先ほどの結果より
\begin{align}
\frac{\alpha}{2\pi i}\int_{C}(1+u)^{a+b+c+d-4}u^{1-a-b}\,du&=\alpha\frac{\Gamma(a+b+c+d-3)}{\Gamma(a+b-1)\Gamma(c+d-1)}
\end{align}
となる. よって, これを代入して
\begin{align}
\alpha^2\sum_{n\in\ZZ}\frac{\Gamma(a+c-1)\Gamma(b+d-1)}{\Gamma(a+\alpha n)\Gamma(b+\alpha n)\Gamma(c-\alpha n)\Gamma(d-\alpha n)}&=\alpha\frac{\Gamma(a+b+c+d-3)}{\Gamma(a+b-1)\Gamma(c+d-1)}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
\alpha\sum_{n\in\ZZ}\frac 1{\Gamma(a+\alpha n)\Gamma(b+\alpha n)\Gamma(c-\alpha n)\Gamma(d-\alpha n)}&=\frac{\Gamma(a+b+c+d-3)}{\Gamma(a+c-1)\Gamma(a+d-1)\Gamma(b+c-1)\Gamma(b+d-1)}
\end{align}
を得る.
定理2において$x=0$とすると以下の系を得る.
$0<\alpha\leq 1$のとき,
\begin{align}
\alpha\sum_{n\in\ZZ}\frac{1}{\Gamma(a+\alpha n)\Gamma(b-\alpha n)}&=
\frac{2^{a+b-2}}{\Gamma(a+b-1)}
\end{align}
が成り立つ.
さらにこの系において$\alpha=1, \alpha\to 0$とすると以下を得る.
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{1}{\Gamma(a+n)\Gamma(b-n)}&= \frac{2^{a+b-2}}{\Gamma(a+b-1)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\Gamma(a+x)\Gamma(b-x)}&= \frac{2^{a+b-2}}{\Gamma(a+b-1)} \end{align}
