単項イデアル整域である虚二次整数環

$z=a+b\sqrt{-d}$としたとき、$z^2-2az+a^2+b^{2}d=0$が成り立つ。従って$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$の整数環とは、$\{a+b\sqrt{-d}\mid a,b\in \mathbb{Q},2a,a^2+b^{2}d\in \mathbb{Z}\}$で表される集合である。$2a\in \mathbb{Z}$なので、$a=\frac{n}{2}$ ($n\in \mathbb{Z}$)と置くと、$a^2+b^{2}d\in \mathbb{Z}$が成り立つためには$b=\frac{m}{2}$ ($m\in \mathbb{Z}$)であることが必要である。そのため、結局$n^2+d{m}^2$が4で割り切れる条件を調べればよいことがわかる。

$d\equiv 3\mathrm{mod}4$でない場合、$n^2+d{m}^2$が4の倍数であることは$n,m$がどちらも偶数であることと同値である。従って、このとき$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$の整数環は$\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$である。
$d\equiv 3\mathrm{mod}4$である場合、$n$と$m$はどちらも偶数であるかどちらも奇数であるかであればよい。どちらも奇数であるとき、$n=2k+1,$ $m=2\ell +1$と置くと
$$\begin{array}{rl}\frac{2k+1}{2}+\frac{2\ell +1}{2}\sqrt{-d}& =\frac{2(k-\ell )+(2\ell +1)(1+\sqrt{d})}{2}\\ & =(k-\ell )+(2\ell +1)\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\end{array}$$どちらも偶数である場合、$n=2a,m=2b$となるので
$$\begin{array}{rl}a+b\sqrt{-d}& =(a-b)+2b\cdot \frac{1+\sqrt{-d}}{2}\end{array}$$
以上より、$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$の整数環は$\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-d}}{2}]$に含まれる。
他方、$z=x+y\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\in \mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-d}}{2}]$に対して、$z^2-(2x+y)z+x^2+\frac{d+1}{4}{y}^2=0$が成り立つため、$\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-d}}{2}]$は$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$の整数環に含まれる。従って、$\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-d}}{2}]$は$\mathbb{Q}(\sqrt{-d})$の整数環である。

$N(1)=1$は明らか。$x=a+b\sqrt{-d},$ $y=s+t\sqrt{-d}$と置くと
$$\begin{array}{rl}N(xy)& =(as-btd{)}^2+(at+bs{)}^{2}d\\ & =a^2{s}^2+b^2{t}^2{d}^2+a^2{t}^{2}d+b^2{s}^{2}d\\ & =(a^2+b^{2}d)(s^2+t^{2}d)\\ & =N(x)N(y)\end{array}$$

$A$をユークリッド環、$\phi$をユークリッド写像、$I\subseteq A$を0でないイデアルとする。このとき、$\phi (b)=min\{\phi (x)\mid x\in A\}$を満たす$b\in A$が取れる。$A$がユークリッド環であることから、任意に取った$x\in I$に対して、$x=qa+r,$ $r=0$または$\phi (r)<\phi (a)$を満たすように$q,r\in A$を取れる。しかし$x-qa\in I$であることと$a$の$\phi$に関する最小性から、$r=0$でなければならないことがわかる。以上より$I=(a)$である。

$z=x+y\sqrt{-d},$ $w=u+v\sqrt{-d}$ ($u^2+d{v}^2\ne 0$) に対して、$a-\frac{1}{2}\le \frac{ux+dvy}{u^2+d{v}^2}<a+\frac{1}{2}$と$b-\frac{1}{2}\le \frac{-vx+uy}{u^2+d{v}^2}<b+\frac{1}{2}$が成り立つように$a,b\in \mathbb{Z}$を取る。このとき、
$${(\frac{ux+dvy}{u^2+d{v}^2}-a)}^2+d{(\frac{-vx+uy}{u^2+d{v}^2}-b)}^2\le \frac{d+1}{4}<1$$が成り立つため、
$$N(z-w(a+bi))=N(w)N(\frac{z}{w}-(a+bi))<N(w)$$以上より$\mathbb{Z}[\sqrt{-d}]$ ($d=1,2$) はユークリッド環である。

$q=q_0+q_1\sqrt{-d}$としたとき、$q=(q_0-q_1)+2q_1\frac{1+\sqrt{-d}}{2}$である。$a_0=[q_0-q_1],$ $a_1=[2q_1],$ $e_0=q_0-q_1-a_0,$ $e_1=2q_1-a_1$とする。このとき、$0\le e_i<1$である。

1. $e_0+e_1<\frac{1}{2}$のとき、$e_0,e_1<\frac{1}{2}$も成り立つため、
   $$\begin{array}{rl}N(q-(a_0+a_1\frac{1+\sqrt{-d}}{2}))& =N((q_0-q_1-a_0)+(2q_1-a_1)\frac{1+\sqrt{-d}}{2})\\ & =e_0^2+e_0{e}_1+\frac{d+1}{4}{e}_1^2\\ & =\frac{e_0^2}{2}+\frac{(e_0+e_1{)}^2}{2}+\frac{d-1}{4}{e}_1^2\\ & \le \frac{d+3}{16}\\ & <1\end{array}$$

2. $\frac{1}{2}\le e_0+e_1<\frac{3}{2}$かつ$-\frac{d-1}{2}<e_0-\frac{d-1}{2}{e}_1<-\frac{d-3}{4}$のとき、
   $$\begin{array}{rl}N(q-(a_0+(a_1+1)\frac{1+\sqrt{-d}}{2}))& =\frac{e_0^2}{2}+\frac{(e_0+e_1-1{)}^2}{2}+\frac{d-1}{4}(e_1-1{)}^2\\ & =\frac{d}{d+1}(e_0+e_1-1{)}^2+\frac{1}{d+1}(e_0-\frac{d-1}{2}{e}_1+\frac{d-1}{2}{)}^2\\ & \le \frac{d}{4(d+1)}+\frac{d+1}{16}\\ & <\frac{d+5}{16}\le 1\end{array}$$

3. $\frac{1}{2}\le e_0+e_1<\frac{3}{2}$かつ$-\frac{d-3}{4}\le e_0-\frac{d-1}{2}<1$のとき、
   $$\begin{array}{rl}N(q-((a_0+1)+a_1\frac{1+\sqrt{-d}}{2}))& =\frac{(e_0-1{)}^2}{2}+\frac{(e_0+e_1-1{)}^2}{2}+\frac{d-1}{4}{e}_1^2\\ & =\frac{d}{d+1}(e_0+e_1-1{)}^2+\frac{1}{d+1}(e_0-\frac{d-1}{2}{e}_1-1{)}^2\\ & <\frac{d+5}{16}\le 1\end{array}$$

4. $\frac{3}{2}\le e_0+e_1$のとき、$\frac{1}{2}\le e_0,e_1$が成り立つため、
   $$\begin{array}{rl}N(q-((a_0+1)+(a_1+1)\frac{1+\sqrt{-d}}{2}))& =\frac{(e_0-1{)}^2}{2}+\frac{(e_0+e_1-2{)}^2}{2}+\frac{d-1}{4}(e_1-1{)}^2\\ & \le \frac{d+3}{16}\\ & <1\end{array}$$

$z=x+y\frac{1+\sqrt{-d}}{2},$ $w=u+v\frac{1+\sqrt{-d}}{2}$ ($u^2+uv+c{v}^2\ne 0$) とする。ここで$\frac{z}{w}\in \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$に補題5を適用すると、ある$q\in \mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right]$が存在して$N(\frac{z}{w}-q)<1$が成り立つ。$r=z-qw$と置くと、$N(r)<N(w)$が成り立つため、$\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right]$はユークリッド整域であることが従う。

$\alpha ,\beta \in \mathcal{O},$ $\beta \ne 0,$ $\frac{\alpha }{\beta }\notin \mathcal{O},$ $N(\beta )\le N(\alpha )$に対して、$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )<1$となる$\gamma ,\delta \in \mathcal{O}$の存在を言えばよい。$\frac{\alpha }{\beta }=a+b\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$と置くと、条件から$a,b\in \mathbb{Q}$は少なくとも片方が整数ではない。

1. $a\notin \mathbb{Z}$かつ$b\in \mathbb{Z}$の場合。$a\in [x-\frac{1}{2},x+\frac{1}{2})$を満たすように$x\in \mathbb{Z}$を定める。このとき、$\gamma =1,$ $\delta =x+b\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$とすると
   $$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )=N(a-x)\le \frac{1}{4}<1$$
2. $a\in \mathbb{Z},$ $b\notin \mathbb{Z}$かつ$5b\notin \mathbb{Z}$である場合。$a+5b\in [x-\frac{1}{2},x+\frac{1}{2})$を満たすように$x\in \mathbb{Z}$を取って、$\gamma =\frac{1-\sqrt{-19}}{2},$ $\delta =x-a\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$とする。このとき、$(a+b\frac{1+\sqrt{-19}}{2})\gamma =a\gamma +5b=a+5b-a\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$より
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(a+5b-x)<1\end{array}$$
3. $a\in \mathbb{Z},$ $b\notin \mathbb{Z}$かつ$5b\in \mathbb{Z}$である場合。$y\in \mathbb{Z}$を$b\in [y-\frac{1}{2},y+\frac{1}{2})$が成り立つように取って、$\gamma =1,$ $\delta =a+y\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$とする。このとき、
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N((b-y)\frac{1+\sqrt{-19}}{2})\\ & \le \frac{4}{5}<1\end{array}$$
4. $a,b\notin \mathbb{Z}$かつ$2a,2b\notin \mathbb{Z}$である場合。このとき、適当な$y\in \mathbb{Z}$によって$b\in [y-\frac{1}{3},y+\frac{1}{3})$か$2b\in [y-\frac{1}{3},y+\frac{1}{3})$のいずれかが成り立つ。前者の場合、$a\in [x-\frac{1}{2},x+\frac{1}{2})$となる$x\in \mathbb{Z}$を取って$\gamma =1,$ $\delta =x+y\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$とすると
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N((a-x)+(b-y)\frac{1+\sqrt{-19}}{2})\\ & ={((a-x)+\frac{b-y}{2})}^2+\frac{19}{4}(b-y{)}^2\\ & \le \frac{4}{9}+\frac{19}{36}<1\end{array}$$
   後者の場合、$2a\in [x-\frac{1}{2},x+\frac{1}{2})$となる$x\in \mathbb{Z}$を取って$\gamma =2,$ $\delta =x+y\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$とする。
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N((2a-x)+(2b-y)\frac{1+\sqrt{-19}}{2})\\ & \le \frac{35}{36}<1\end{array}$$
5. $a,b,2a\notin \mathbb{Z}$かつ$2b\in \mathbb{Z}$の場合。$x\in \mathbb{Z}$を$2a\in [x-\frac{1}{2},x+\frac{1}{2})$が成り立つように取って、$\gamma =2,$ $\delta =x+2b\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$とする。このとき、
   $$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )=N(2a-x)<1$$
6. $a,b,2b\notin \mathbb{Z}$かつ$2a\in \mathbb{Z}$の場合。$5b\in \mathbb{Z}$であるならば$\gamma =5,$ $\delta =x+5b\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$ ($x$は$5a\in [x-\frac{1}{2},x+\frac{1}{2})$を満たす) とする。このとき
   $$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )=N(5a-x)<1$$
   $5b\notin \mathbb{Z}$であるなら、$\gamma =1-\sqrt{-19},$ $\delta =x-2a\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$ ($x$は$2a+10b\in [x-\frac{1}{2},x+\frac{1}{2})$を満たす) とする。このとき
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(2a-10b-x)<1\end{array}$$
7. $a,b\notin \mathbb{Z}$かつ$2a,2b\in \mathbb{Z}$の場合。$x\in \mathbb{Z}$を$-5b\in [x-\frac{1}{2},x+\frac{1}{2})$となるように取って、$\gamma =\frac{1+\sqrt{-19}}{2},$ $\delta =x+(a+b)\frac{1+\sqrt{-19}}{2}$とする ($a+b\in \mathbb{Z}$は条件から従う)。このとき、
   $$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )=N(-5b-x)<1$$

$I$を$\mathcal{O}=\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]$の0でないイデアルとする。このとき、$\beta \in I$を$N(\beta )$が最小になるように取ると、明らかに$\beta \mathcal{O}\subseteq I$。今、$\alpha \in I$が存在して$\frac{\beta }{\alpha }\notin \mathcal{O}$を仮定すると、定理から$0<N(\alpha \gamma -\beta \delta )<N(\beta )$が成り立つ$\gamma ,\delta \in \mathcal{O}$が存在する。$I$がイデアルであるため$\alpha \gamma -\beta \delta \in I$が成り立つが、そうすると$N(\beta )$の最小性に矛盾する。従って$I\subseteq (\beta )$であり、$(\beta )=I$が成り立つことがわかる。

$x\in \mathbb{R}$と$n\in \mathbb{Z}$に対して$⟨x+n⟩=⟨x⟩+n$が成り立つため、$0\le x<1$の範囲で示せば十分である。このとき、
(ⅰ) $0\le x\le \frac{1}{4}$ならば$|x-⟨x⟩|\le \frac{1}{4}$
(ⅱ) $\frac{1}{4}\le x\le \frac{5}{12}$ならば$|3x-⟨3x⟩|\le \frac{1}{4}$
(ⅲ) $\frac{3}{8}\le x\le \frac{5}{8}$ならば$|2x-⟨2x⟩|\le \frac{1}{4}$
(ⅳ) $\frac{7}{12}\le x\le \frac{3}{4}$ならば$|3x-⟨3x⟩|\le \frac{1}{4}$
(ⅴ) $\frac{3}{4}\le x<1$ならば$|x-⟨x⟩|\le \frac{1}{4}$

よって1.～3.の少なくとも1つは成立することがわかる。

$\alpha ,\beta \in \mathcal{O},$ $\beta \ne 0,$ $\frac{\alpha }{\beta }\notin \mathcal{O},$ $N(\beta )\le N(\alpha )$に対して、$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )<1$となる$\gamma ,\delta \in \mathcal{O}$の存在を言えばよい。$\frac{\alpha }{\beta }=a+b\frac{1+\sqrt{-43}}{2}$と置くと、条件から$a,b\in \mathbb{Q}$は少なくとも片方が整数ではない。また、補題8より、$|b-⟨b⟩|\le \frac{1}{4},$ $|2b-⟨2b⟩|\le \frac{1}{4},$ $|3b-⟨3b⟩|\le \frac{1}{4}$のうち少なくとも1つは成り立つ。

1. $b\in \mathbb{Z}$ (従って$a\notin \mathbb{Z}$) の場合、$\gamma =1,$ $\delta =⟨a⟩+b\frac{1+\sqrt{-43}}{2}$とおく。このとき
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(a-⟨a⟩)\\ & \le \frac{1}{4}<1\end{array}$$
2. $kb\in \mathbb{Z}$かつ$ka\notin \mathbb{Z}$ ($k=2,3$) が成り立つ場合、$\gamma =k,$ $\delta =⟨ka⟩+kb\frac{1+\sqrt{-43}}{2}$とおく。このとき
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(ka-⟨ka⟩)\\ & \le \frac{1}{4}<1\end{array}$$
3. $0<|kb-⟨kb⟩|\le \frac{1}{4}$ ($k=1,2,3$) が成り立つ場合、$\gamma =k,$ $\delta =⟨ka+\frac{kb-⟨kb⟩}{2}⟩+⟨kb⟩\frac{1+\sqrt{-43}}{2}$とすると
   $$\begin{array}{rl}\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta & =k(a+b\frac{1+\sqrt{-43}}{2})-(⟨ka+\frac{kb-⟨kb⟩}{2}⟩+⟨kb⟩\frac{1+\sqrt{-43}}{2})\\ & =(ka+\frac{kb-⟨kb⟩}{2}-⟨ka+\frac{kb-⟨kb⟩}{2}⟩)+(kb-⟨kb⟩)\frac{\sqrt{-43}}{2}\end{array}$$であることから、
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& \le \frac{1}{4}+\frac{43}{64}<1\end{array}$$が成り立つ。
4. $b\notin \mathbb{Z}$かつ$a\in \mathbb{Z},$ $kb\in \mathbb{Z}$ ($k=2,3$) が成り立つ場合。このとき
   $$\begin{array}{rl}(a+b\frac{1+\sqrt{-43}}{2})\cdot \frac{1-\sqrt{-43}}{2}& =a+11b-a\frac{1+\sqrt{-43}}{2}\end{array}$$
   $b\notin \mathbb{Z}$かつ$kb\in \mathbb{Z}$より$11b\notin \mathbb{Z}$が従うため、$\gamma =\frac{1-\sqrt{-43}}{2},$ $\delta =⟨a+11b⟩-a\frac{1+\sqrt{-43}}{2}$と置くと
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(11b-⟨11b⟩)\\ & \le \frac{1}{4}<1\end{array}$$
5. $a,b\notin \mathbb{Z}$かつ$ka,kb\in \mathbb{Z}$が$k=2$または$k=3$のどちらかで成立する場合。このとき、$a+b\in \mathbb{Z}$か$a-b\in \mathbb{Z}$の少なくとも片方が成り立つ。$a+b\in \mathbb{Z}$のとき、$\gamma =\frac{1+\sqrt{-43}}{2},$ $\delta =⟨-11b⟩+(a+b)\frac{1+\sqrt{-43}}{2}$と置く。
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(-11b-⟨-11b⟩)\\ & \le \frac{1}{4}<1\end{array}$$
   $a-b\in \mathbb{Z}$のとき、$\gamma =\frac{3-\sqrt{-43}}{2},$ $\delta =⟨2a+11b⟩+(-a+b)\frac{1+\sqrt{-43}}{2}$とすると、$a,b$の条件から$2a+11b\notin \mathbb{Z}$が得られるため
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(2a+11b-⟨2a+11b⟩)\\ & \le \frac{1}{4}<1\end{array}$$

補題8と同様に、$0\le x<1$について示せれば十分。このとき、以下の7つの場合のいずれかによって主張が成り立つ。

1. $0\le x\le \frac{1}{5}$ならば$|x-⟨x⟩|\le \frac{1}{5}$
2. $\frac{1}{5}\le x\le \frac{3}{10}$ならば$|4x-⟨4x⟩|\le \frac{1}{5}$
3. $\frac{4}{15}\le x\le \frac{2}{5}$ならば$|3x-⟨3x⟩|\le \frac{1}{5}$
4. $\frac{2}{5}\le x\le \frac{3}{5}$ならば$|2x-⟨2x⟩|\le \frac{1}{5}$
5. $\frac{3}{5}\le x\le \frac{11}{15}$ならば$|3x-⟨3x⟩|\le \frac{1}{5}$
6. $\frac{7}{10}\le x\le \frac{4}{5}$ならば$|4x-⟨4x⟩|\le \frac{1}{5}$
7. $\frac{4}{5}\le x<1$ならば$|x-⟨x⟩|\le \frac{1}{5}$

$\frac{\alpha }{\beta }=a+b\frac{1+\sqrt{-67}}{2}$と置くと、$a,b$の少なくとも一方は整数ではない。
$$\begin{array}{rl}(a+b\frac{1+\sqrt{-67}}{2})\frac{1-\sqrt{-67}}{2}& =a+17b-a\frac{1+\sqrt{-67}}{2}\\ (a+b\frac{1+\sqrt{-67}}{2})\frac{1+\sqrt{-67}}{2}& =-17b+(a+b)\frac{1+\sqrt{-67}}{2}\\ (a+b\frac{1+\sqrt{-67}}{2})\frac{3-\sqrt{-67}}{2}& =2a+17b+(-a+b)\frac{1+\sqrt{-67}}{2}\end{array}$$であることを用いて、次のように場合分けする。

1. $b\in \mathbb{Z},$ $a\notin \mathbb{Z}$の場合、$\gamma =1,$ $\delta =⟨a⟩+b\frac{1+\sqrt{-67}}{2}$と置くと、$N(\frac{\alpha }{\beta }-\delta )=N(a-⟨a⟩)<1$。
2. $2b\in \mathbb{Z},$ $2a\notin \mathbb{Z}$の場合、$\gamma =2,$ $\delta =⟨2a⟩+2b\frac{1+\sqrt{-67}}{2}$と置くと、$N(2\cdot \frac{\alpha }{\beta }-\delta )=N(2a-⟨2a⟩)<1$。
3. $a\in \mathbb{Z},$ $17b\notin \mathbb{Z}$の場合、$\gamma =\frac{1-\sqrt{-67}}{2},$ $\delta =⟨a+17b⟩-a\frac{1+\sqrt{-67}}{2}$と置くと、$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )=N(a+17b-\delta )<1$。
4. $2a\in \mathbb{Z},$ $34b\notin \mathbb{Z}$の場合、$\gamma =1-\sqrt{-67},$ $\delta =⟨2(a+17b)⟩-2a\frac{1+\sqrt{-67}}{2}$と置くと、$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )=N(2a+34b-⟨2a+34b⟩)<1$
5. $a+b\in \mathbb{Z},$ $17b\notin \mathbb{Z}$の場合、$\gamma =\frac{1+\sqrt{-67}}{2},$ $\delta =⟨-17b⟩+(a+b)\frac{1+\sqrt{-67}}{2}$とすると、$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )=N(-17b-⟨-17b⟩)<1$。
6. $k=1,2,3,4$のいずれかの場合について、$0<|kb-⟨kb⟩|\le \frac{1}{5}$が成り立つ場合。$\gamma =k,$ $\delta =⟨ka+\frac{kb-⟨kb⟩}{2}⟩+⟨kb⟩\frac{1+\sqrt{-67}}{2}$とすると、
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(ka+\frac{kb-⟨kb⟩}{2}-⟨ka+\frac{kb-⟨kb⟩}{2}⟩+(kb-⟨kb⟩)\frac{\sqrt{67}}{2})\\ & ={(ka+\frac{kb-⟨kb⟩}{2}-⟨ka+\frac{kb-⟨kb⟩}{2}⟩)}^2+(kb-⟨kb⟩{)}^2\cdot \frac{67}{4}\\ & \le \frac{1}{4}+\frac{67}{100}=\frac{23}{25}<1\end{array}$$
7. $-a+b\in \mathbb{Z}$であって、$k=2,3,4$のいずれかについて$ka,kb\in \mathbb{Z}$が成り立つ場合。このとき、$2a+17b\notin \mathbb{Z}$が従うため、$\gamma =\frac{3-\sqrt{-67}}{2},$ $\delta =⟨2a+17b⟩+(-a+b)\frac{1+\sqrt{-67}}{2}$とすると$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )=N(2a+17b-⟨2a+17b⟩)<1$。

補題8,10と同様に、$0\le x<1$について示せば十分であり、またそれは区間$[0,1)$を適切な19個の区間で覆うことで示される。

$\alpha ,\beta \in \mathcal{O},$ $\beta \ne 0,$ $\frac{\alpha }{\beta }\notin \mathcal{O},$ $N(\beta )\le N(\alpha )$に対して、$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )<1$となる$\gamma ,\delta \in \mathcal{O}$の存在を言えばよい。$\frac{\alpha }{\beta }=a+b\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$と置くと、条件から$a,b\in \mathbb{Q}$は少なくとも片方が整数ではない。

1. $k=1,2,3$のいずれかについて、$ka\notin \mathbb{Z},$ $kb\in \mathbb{Z}$が成り立つ場合。$\gamma =k,$ $\delta =⟨ka⟩+kb\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$と置くと、$N(\frac{\alpha }{\beta }-\delta )=N(ka-⟨ka⟩)<1$。
2. $k=1,2,3$のいずれかについて、$ka\in \mathbb{Z},$ $41kb\notin \mathbb{Z}$が成り立つ場合。$\gamma =k\cdot \frac{1-\sqrt{-163}}{2},$ $\delta =ka+⟨41kb⟩-ka\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$と置くと、$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )=N(41kb-⟨41kb⟩)<1$。
3. $a+b\in \mathbb{Z},$ $41b\notin \mathbb{Z}$の場合。$\gamma =\frac{1+\sqrt{-163}}{2},$ $\delta =⟨-41b⟩+(a+b)\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$と置くと、$N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )=N(-41b-⟨-41b⟩)<1$。
4. $k=1,\dots ,7$のいずれかにおいて$0<|kb-⟨kb⟩|\le \frac{1}{8}$が成り立つ場合。$\gamma =k,$ $\delta =⟨ka+\frac{kb-⟨kb⟩}{2}⟩+⟨kb⟩\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$と置くと、
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(ka+\frac{kb-⟨kb⟩}{2}-⟨ka+\frac{kb-⟨kb⟩}{2}⟩+(kb-⟨kb⟩)\frac{\sqrt{-163}}{2})\\ & \le \frac{1}{4}+\frac{1}{64}\cdot \frac{163}{4}=\frac{227}{256}<1\end{array}$$
5. $a,b\notin \mathbb{Z},$ $-a+b\in \mathbb{Z}$かつ$k=2,\dots ,7$のいずれかにおいて$ka,kb\in \mathbb{Z}$が成り立つ場合。このとき、条件から$2a+41b\notin \mathbb{Z}$が成り立つため、$\gamma =\frac{3-\sqrt{-163}}{2},$ $\delta =⟨2a+41b⟩+(-a+b)\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$と置くと
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(2a+41b-⟨2a+41b⟩)\\ & <1\end{array}$$
6. $a,b\notin \mathbb{Z},$ $a+2b\in \mathbb{Z}$かつ$k=5,7$のどちらかにおいて$ka,kb\in \mathbb{Z}$が成り立つ場合。このとき$a=n-2b$と置くと$a-41b=n-43b\notin \mathbb{Z}$が成り立つ。従って$\gamma =\frac{3+\sqrt{-163}}{2},$ $\delta =⟨a-41b⟩+(a+2b)\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$と置くと
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(a-41b-⟨a-41b⟩)\\ & <1\end{array}$$
7. $a,b\notin \mathbb{Z},$ $-a+2b\in \mathbb{Z}$かつ$k=5,7$のどちらかにおいて$ka,kb\in \mathbb{Z}$が成り立つ場合。このとき$a=n+2b$とすると、$3a+41b=3n+47b\notin \mathbb{Z}$が成り立つ。従って$\gamma =\frac{5-\sqrt{-163}}{2},$ $\delta =⟨3a+41b⟩+(-a+2b)\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$と置くと
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(3a+41b-⟨3a+41b⟩)\\ & <1\end{array}$$
8. $a,b\notin \mathbb{Z},$ $2a+b\in \mathbb{Z}$かつ$k=5,7$のどちらかにおいて$ka,kb\in \mathbb{Z}$が成り立つ場合。このとき$a+82b\notin \mathbb{Z}$が成り立つため、$\gamma =\sqrt{-163},$ $\delta =⟨-a-82b⟩+(2a+b)\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$と置くと
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(-a-82b-⟨-a-82b⟩)\\ & <1\end{array}$$
9. $a,b\notin \mathbb{Z},$ $-2a+b\in \mathbb{Z}$かつ$k=5,7$のどちらかにおいて$ka,kb\in \mathbb{Z}$が成り立つ場合。このとき$3a+82b\notin \mathbb{Z}$が成り立つため、$\gamma =2-\sqrt{-163},$ $\delta =⟨3a+82b⟩+(-2a+b)\frac{1+\sqrt{-163}}{2}$と置くと
   $$\begin{array}{rl}N(\frac{\alpha }{\beta }\gamma -\delta )& =N(3a+82b-⟨3a+82b⟩)\\ & <1\end{array}$$