Andrews-Gordon恒等式

前の記事 の定理3において, $n,b_1,\dots,b_k,c_1,\dots,c_k\to\infty$とすると, $(\alpha_n,\beta_n)$を$a$に関するBailey対として
\begin{align} &\frac{\alpha_0}{(a,q;q)_{\infty}}+\frac{1-a}{(a,q;q)_{\infty}}\sum_{j=1}^{\infty}q^{ij(j-1)}a^{ij}\left(\frac{q^{(k-i)j(j-1)}(aq)^{(k-i)j}}{1-aq^{2j}}\alpha_j-\frac{q^{(k-i)(j-1)(j-2)}(aq)^{(k-i)(j-1)} aq^{2j-2}\alpha_{j-1}}{1-aq^{2j-2}}\right)\\ &=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_k\geq 0}\frac{q^{n_1(n_1-1)+\cdots+n_i(n_i-1)+n_{i+1}^2+\cdots+n_k^2}a^{n_1+\cdots+n_k}}{(q;q)_{n_1-n_2}\cdots(q;q)_{n_{k-1}-n_k}}\beta_{n_k} \end{align}
が成り立つ. これにBailey対
\begin{align} \alpha_n&=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(-1)^nq^\binom n2\\ \beta_n&=\delta_{n,0} \end{align}
を用いると,
\begin{align} &\frac{1}{(a;q)_{\infty}}+\frac{1}{(a;q)_{\infty}}\sum_{j=1}^{\infty}\left(q^{(2k+1)\binom j2+(k-i)j}a^{kj}\frac{(a;q)_j}{(q;q)_j}(-1)^j-q^{ij(j-1)+(k-i)(j-1)^2+2j-2}a^{ij+(k-i)(j-1)+1}\frac{(a;q)_{j-1}}{(q;q)_{j-1}}(-1)^{j-1}q^{\binom{j-1}2}\right)\\ &=\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_{k-1}\geq 0}\frac{q^{n_1(n_1-1)+\cdots+n_i(n_i-1)+n_{i+1}^2+\cdots+n_{k-1}^2}a^{n_1+\cdots+n_{k-1}}}{(q;q)_{n_1-n_2}\cdots(q;q)_{n_{k-1}}} \end{align}
を得る. $a=q$とすると,
\begin{align} &\frac{1}{(q;q)_{\infty}}+\frac{1}{(q;q)_{\infty}}\sum_{j=1}^{\infty}\left(q^{(2k+1)\binom j2+(2k-i)j}(-1)^j-q^{(2k+1)\binom j2+(i+1)j}(-1)^{j-1}\right)\\ &=\sum_{n_1\geq\cdots\geq n_{k-1}\geq 0}\frac{q^{n_1^2+\cdots+n_{k-1}^2+n_{i+1}+\cdots+n_{k-1}}}{(q;q)_{n_1-n_2}\cdots(q;q)_{n_{k-1}}} \end{align}
となるが, 右辺はJacobiの三重積により,
\begin{align} &\frac{1}{(q;q)_{\infty}}+\frac{1}{(q;q)_{\infty}}\sum_{j=1}^{\infty}\left(q^{(2k+1)\binom j2+(2k-i)j}(-1)^j-q^{(2k+1)\binom j2+(i+1)j}(-1)^{j-1}\right)\\ &=\frac{1}{(q;q)_{\infty}}\sum_{j=-\infty}^{\infty}q^{(2k+1)\binom j2+(2k-i)j}(-1)^j\\ &=\frac{(q^{i+1},q^{2k-i},q^{2k+1};q^{2k+1})_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\\ \end{align}
であるから, $k\mapsto k+1, i\mapsto i-1$として定理を得る.