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Bailey格子

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関する Bailey対であるとは,
$\begin{aligned} β_{n} & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{α_{k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} \end{aligned}$
が成り立つことをいう. 以下がBailey格子(Bailey lattice)と呼ばれる定理である. Bailey格子という用語は元々は下の定理と Baileyの補題を繰り返して得られるBailey対が格子のように並んでいる様子を表したもののようである.

Agarwal-Andrews-Bressoud(1987)

$(α_{n}, β_{n})$ を $a$ に関するBailey対とする. このとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := (1 - a) {(\frac{a}{b c})}^{n} \frac{(b, c; q)_{n}}{(a / b, a / c; q)_{n}} (\frac{α_{n}}{1 - a q^{2 n}} - \frac{a q^{2 n - 2} α_{n - 1}}{1 - a q^{2 n - 2}}) \\ β_{n}^{'} & := \sum_{k = 0}^{n} \frac{(b, c; q)_{k} (a / b c; q)_{n - k}}{(a / b, a / c; q)_{n} (q; q)_{n - k}} {(\frac{a}{b c})}^{k} β_{k} \end{aligned}$
とするとき, $(α_{n}^{'}, β_{n}^{'})$ は $a / q$ に関するBailey対である. ただし, 形式的に $α_{- 1} := 0$ とする.

特に, $a = b c$ の場合は以下のようになる.

$(α_{n}, β_{n})$ を $a$ に関するBailey対とする. このとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := (1 - a) (\frac{α_{n}}{1 - a q^{2 n}} - \frac{a q^{2 n - 2} α_{n - 1}}{1 - a q^{2 n - 2}}), n \geq 1 \\ β_{n}^{'} & := β_{n} \end{aligned}$
とするとき, $(α_{n}^{'}, β_{n}^{'})$ は $a / q$ に関するBailey対である. ただし, 形式的に $α_{- 1} := 0$ とする.

補題2の $(α_{n}^{'}, β_{n}^{'})$ にBaileyの補題を適用すると定理1が示せるので, 定理1を示すには補題2を示せば十分である.

$\begin{aligned} \sum_{j = 0}^{n} \frac{α_{j}^{'}}{(q; q)_{n - j} (a; q)_{n + j}} & = \sum_{j = 0}^{n} \frac{1 - a}{(q; q)_{n - j} (a; q)_{n + j}} (\frac{α_{j}}{1 - a q^{2 j}} - \frac{a q^{2 j - 2} α_{j - 1}}{1 - a q^{2 j - 2}}) \\ = \sum_{j = 0}^{n} \frac{1 - a q^{n + j}}{(q; q)_{n - j} (a q; q)_{n + j}} \frac{α_{j}}{1 - a q^{2 j}} - \sum_{j = 0}^{n} \frac{1 - q^{n - j}}{(q; q)_{n - j} (a q; q)_{n + j}} \frac{a q^{2 j} α_{j}}{1 - a q^{2 j}} \\ = \sum_{j = 0}^{n} \frac{α_{j}}{(q; q)_{n - j} (a q; q)_{n + j}} \\ = β_{j} \end{aligned}$
となって示される.

$(α_{n}, β_{n})$ から始めて $k - i$ 回Baileyの補題を適用し, 定理1を用いた後 $i - 1$ 回Baileyの補題を用いると, Andrewsの恒等式と同様に, 以下が得られる.

Agarwal-Andrews-Bressoud(1987)

$(α_{n}, β_{n})$ を $a$ に関するBailey対とするとき,
$\begin{aligned} \frac{α_{0}}{(a, q; q)_{n}} + (1 - a) \sum_{j = 1}^{n} \frac{(b_{1}, \dots, b_{i}, c_{1}, \dots, c_{i}; q)_{j}}{(a / b_{1}, \dots, a / b_{i}, a / c_{1}, \dots, a / c_{i}; q)_{j} (q; q)_{n + j} (a; q)_{n - j}} {(\frac{a^{i}}{b_{1} \dots b_{i} c_{1} \dots c_{i}})}^{j} \\ \cdot (\frac{(b_{i + 1}, \dots, b_{k}, c_{i + 1}, \dots, c_{k}; q)_{j}}{(a q / b_{i + 1}, \dots, a q / b_{k}, a q / c_{i + 1}, \dots, a q / c_{k}; q)_{j}} {(\frac{a^{k - i} q^{k - i}}{b_{i + 1} \dots b_{k} c_{i + 1} \dots c_{k}})}^{j} \frac{α_{j}}{1 - a q^{2 j}} \\ - \frac{(b_{i + 1}, \dots, b_{k}, c_{i + 1}, \dots, c_{k}; q)_{j - 1}}{(a q / b_{i + 1}, \dots, a q / b_{k}, a q / c_{i + 1}, \dots, a q / c_{k}; q)_{j - 1}} {(\frac{a^{k - i} q^{k - i}}{b_{i + 1} \dots b_{k} c_{i + 1} \dots c_{k}})}^{j - 1} \frac{a q^{2 j - 2} α_{j - 1}}{1 - a q^{2 j - 2}}) \\ = \sum_{n \geq n_{1} \geq \dots \geq n_{k} \geq 0} \frac{(b_{1}, c_{1}; q)_{n_{1}} \dots (b_{k}, c_{k}; q)_{n_{k}}}{(q; q)_{n - n_{1}} \dots (q; q)_{n_{k - 1} - n_{k}}} \cdot \frac{a^{n_{1} + \dots + n_{k}} q^{n_{i + 1} + \dots + n_{k}}}{(b_{1} c_{1})^{n_{1}} \dots (b_{k} c_{k})^{n_{k}}} β_{n_{k}} \\ \cdot \frac{(a / b_{1} c_{1}; q)_{n - n_{1}} \dots (a / b_{i} c_{i}; q)_{n_{i - 1} - n_{i}} (a q / b_{i + 1} c_{i + 1}; q)_{n_{i} - n_{i + 1}} \dots (a q / b_{k} c_{k}; q)_{n_{k - 1} - n_{k}}}{(a / b_{1}, a / c_{1}; q)_{n} \dots (a / b_{i}, a / c_{i}; q)_{n_{i - 1}} (a q / b_{i + 1}, a q / c_{i + 1}; q)_{n_{i}} \dots (a q / b_{k}, a q / c_{k}; q)_{n_{k - 1}}} \end{aligned}$
が成り立つ.