文献あり

Bailey格子

$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関する Bailey対であるとは,
\begin{align} \beta_n&=\sum_{k=0}^n\frac{\alpha_k}{(q;q)_{n-k}(aq;q)_{n+k}} \end{align}
が成り立つことをいう. 以下がBailey格子(Bailey lattice)と呼ばれる定理である. Bailey格子という用語は元々は下の定理と Baileyの補題を繰り返して得られるBailey対が格子のように並んでいる様子を表したもののようである.

Agarwal-Andrews-Bressoud(1987)

$(\alpha_n,\beta_n)$を$a$に関するBailey対とする. このとき,
\begin{align} \alpha_n'&:=(1-a)\left(\frac{a}{bc}\right)^n\frac{(b,c;q)_n}{(a/b,a/c;q)_n}\left(\frac{\alpha_n}{1-aq^{2n}}-\frac{aq^{2n-2}\alpha_{n-1}}{1-aq^{2n-2}}\right)\\ \beta_n'&:=\sum_{k=0}^n\frac{(b,c;q)_k(a/bc;q)_{n-k}}{(a/b,a/c;q)_n(q;q)_{n-k}}\left(\frac{a}{bc}\right)^k\beta_k \end{align}
とするとき, $(\alpha_n',\beta_n')$は$a/q$に関するBailey対である. ただし, 形式的に$\alpha_{-1}:=0$とする.

特に, $a=bc$の場合は以下のようになる.

$(\alpha_n,\beta_n)$を$a$に関するBailey対とする. このとき,
\begin{align} \alpha_n'&:=(1-a)\left(\frac{\alpha_n}{1-aq^{2n}}-\frac{aq^{2n-2}\alpha_{n-1}}{1-aq^{2n-2}}\right),\qquad n\geq 1\\ \beta_n'&:=\beta_n \end{align}
とするとき, $(\alpha_n',\beta_n')$は$a/q$に関するBailey対である. ただし, 形式的に$\alpha_{-1}:=0$とする.

補題2の$(\alpha_n',\beta_n')$にBaileyの補題を適用すると定理1が示せるので, 定理1を示すには補題2を示せば十分である.

\begin{align} \sum_{j=0}^n\frac{\alpha_j'}{(q;q)_{n-j}(a;q)_{n+j}}&=\sum_{j=0}^n\frac{1-a}{(q;q)_{n-j}(a;q)_{n+j}}\left(\frac{\alpha_j}{1-aq^{2j}}-\frac{aq^{2j-2}\alpha_{j-1}}{1-aq^{2j-2}}\right)\\ &=\sum_{j=0}^n\frac{1-aq^{n+j}}{(q;q)_{n-j}(aq;q)_{n+j}}\frac{\alpha_j}{1-aq^{2j}}-\sum_{j=0}^n\frac{1-q^{n-j}}{(q;q)_{n-j}(aq;q)_{n+j}}\frac{aq^{2j}\alpha_{j}}{1-aq^{2j}}\\ &=\sum_{j=0}^n\frac{\alpha_j}{(q;q)_{n-j}(aq;q)_{n+j}}\\ &=\beta_j \end{align}
となって示される.

$(\alpha_n,\beta_n)$から始めて$k-i$回Baileyの補題を適用し, 定理1を用いた後$i-1$回Baileyの補題を用いると, Andrewsの恒等式と同様に, 以下が得られる.

Agarwal-Andrews-Bressoud(1987)

$(\alpha_n,\beta_n)$を$a$に関するBailey対とするとき,
\begin{align} &\frac{\alpha_0}{(a,q;q)_n}+(1-a)\sum_{j=1}^n\frac{(b_1,\dots,b_i,c_1,\dots,c_i;q)_j}{(a/b_1,\dots,a/b_i,a/c_1,\dots,a/c_i;q)_j(q;q)_{n+j}(a;q)_{n-j}}\left(\frac{a^i}{b_1\cdots b_ic_1\cdots c_i}\right)^j\\ &\qquad\cdot\Bigg(\frac{(b_{i+1},\dots,b_k,c_{i+1},\dots,c_k;q)_j}{(aq/b_{i+1},\dots,aq/b_k,aq/c_{i+1},\dots,aq/c_k;q)_j}\left(\frac{a^{k-i}q^{k-i}}{b_{i+1}\cdots b_kc_{i+1}\cdots c_k}\right)^j\frac{\alpha_j}{1-aq^{2j}}\\ &\qquad -\frac{(b_{i+1},\dots,b_k,c_{i+1},\dots,c_k;q)_{j-1}}{(aq/b_{i+1},\dots,aq/b_k,aq/c_{i+1},\dots,aq/c_k;q)_{j-1}}\left(\frac{a^{k-i}q^{k-i}}{b_{i+1}\cdots b_kc_{i+1}\cdots c_k}\right)^{j-1}\frac{aq^{2j-2}\alpha_{j-1}}{1-aq^{2j-2}}\Bigg)\\ &=\sum_{n\geq n_1\geq\cdots\geq n_k\geq 0}\frac{(b_1,c_1;q)_{n_1}\cdots (b_k,c_k;q)_{n_k}}{(q;q)_{n-n_1}\cdots(q;q)_{n_{k-1}-n_k}}\cdot\frac{a^{n_1+\cdots+n_k}q^{n_{i+1}+\cdots+n_k}}{(b_1c_1)^{n_1}\cdots(b_kc_k)^{n_k}}\beta_{n_k}\\ &\qquad\cdot\frac{(a/b_1c_1;q)_{n-n_1}\cdots(a/b_ic_i;q)_{n_{i-1}-n_i}(aq/b_{i+1}c_{i+1};q)_{n_i-n_{i+1}}\cdots(aq/b_kc_k;q)_{n_{k-1}-n_k}}{(a/b_1,a/c_1;q)_n\cdots (a/b_i,a/c_i;q)_{n_{i-1}}(aq/b_{i+1},aq/c_{i+1};q)_{n_i}\cdots(aq/b_k,aq/c_k;q)_{n_{k-1}}} \end{align}
が成り立つ.