文献あり

Andrewsの恒等式

少し前の記事でBailey対とBaileyの補題について扱った. $(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関するBailey対であるとは,
$\begin{array}{r} β_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{α_{k}}{(q; q)_{n - k} (a q; q)_{n + k}} \end{array}$
を満たしていることであり, そのとき,
$\begin{aligned} α_{n}^{'} & := \frac{(b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} {(\frac{a q}{b c})}^{n} α_{n} \\ β_{n}^{'} & := \frac{1}{(a q / b, a q / c; q)_{n}} \sum_{j = 0}^{n} \frac{(b, c; q)_{j} (a q / b c; q)_{n - j}}{(q; q)_{n - j}} {(\frac{a q}{b c})}^{j} β_{j} \end{aligned}$
とすれば, $(α_{n}^{'}, β_{n}^{'})$ も $a$ に関するBailey対になるというのがBaileyの補題であった. この $(α_{n}^{'}, β_{n}^{'})$ に対してさらにBaileyの補題を適用して $(α_{n}^{″}, β_{n}^{″})$ を得るが, このようにBaileyの補題を繰り返し用いることによって以下の等式を得る.

Andrews(1984)

$N$ が非負整数, $(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関するBailey対であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{r}, c_{1}, \dots, c_{r}, q^{- N}; q)_{n}}{(a q / b_{1}, \dots, a q / b_{r}, a q / c_{1}, \dots, a q / c_{r}, a q^{N + 1}; q)_{n}} {(- \frac{a^{r} q^{r + N}}{b_{1} \dots b_{r} c_{1} \dots c_{r}})}^{n} q^{- (\binom{n}{2})} α_{n} \\ = \frac{(a q, a q / b_{r} c_{r}; q)_{N}}{(a q / b_{r}, a q / c_{r}; q)_{N}} \sum_{0 \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{(q^{- N}; q)_{n_{r}}}{(b_{r} c_{r} q^{- N} / a; q)_{n_{r}}} q^{n_{r}} \\ \cdot (\prod_{j = 2}^{r} \frac{(b_{j}, c_{j}; q)_{n_{j}}}{(a q / b_{j - 1}, a q / c_{j - 1}; q)_{n_{j}}} {(\frac{a q}{b_{j - 1} c_{j - 1}})}^{n_{j - 1}} \frac{(a q / b_{j - 1} c_{j - 1}; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}}{(q; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}}) (b_{1}, c_{1}; q)_{n_{1}} β_{n_{1}} \end{aligned}$
が成り立つ.

左辺は
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{r}, c_{1}, \dots, c_{r}, q^{- N}; q)_{n}}{(a q / b_{1}, \dots, a q / b_{r}, a q / c_{1}, \dots, a q / c_{r}, a q^{N + 1}; q)_{n}} {(- \frac{a^{r} q^{r + N}}{b_{1} \dots b_{r} c_{1} \dots c_{r}})}^{n} q^{- (\binom{n}{2})} α_{n} \\ = (a q, q; q)_{N} \sum_{0 \leq n} \frac{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{r}, c_{1}, \dots, c_{r}; q)_{n}}{(a q / b_{1}, \dots, a q / b_{r}, a q / c_{1}, \dots, a q / c_{r}; q)_{n}} {(\frac{a^{r} q^{r}}{b_{1} \dots b_{r} c_{1} \dots c_{r}})}^{n} \frac{α_{n}}{(a q; q)_{N + n} (q; q)_{N - n}} \end{aligned}$
右辺は
$\begin{aligned} \frac{(a q, a q / b_{r} c_{r}; q)_{N}}{(a q / b_{r}, a q / c_{r}; q)_{N}} \sum_{0 \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{(q^{- N}; q)_{n_{r}}}{(b_{r} c_{r} q^{- N} / a; q)_{n_{r}}} q^{n_{r}} \\ \cdot (\prod_{j = 2}^{r} \frac{(b_{j}, c_{j}; q)_{n_{j}}}{(a q / b_{j - 1}, a q / c_{j - 1}; q)_{n_{j}}} {(\frac{a q}{b_{j - 1} c_{j - 1}})}^{n_{j - 1}} \frac{(a q / b_{j - 1} c_{j - 1}; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}}{(q; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}}) β_{n_{1}} \\ \frac{(a q, q; q)_{N}}{(a q / b_{r}, a q / c_{r}; q)_{N}} \sum_{0 \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{(a q / b_{r} c_{r}; q)_{N - n_{r}}}{(q; q)_{N - n_{r}}} {(\frac{a q}{b_{r} c_{r}})}^{n_{r}} \\ \cdot (\prod_{j = 2}^{r} \frac{(b_{j}, c_{j}; q)_{n_{j}}}{(a q / b_{j - 1}, a q / c_{j - 1}; q)_{n_{j}}} {(\frac{a q}{b_{j - 1} c_{j - 1}})}^{n_{j - 1}} \frac{(a q / b_{j - 1} c_{j - 1}; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}}{(q; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}}) (b_{1}, c_{1}; q)_{n_{1}} β_{n_{1}} \end{aligned}$
となる. これは
$\begin{array}{r} \frac{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{r}, c_{1}, \dots, c_{r}; q)_{n}}{(a q / b_{1}, \dots, a q / b_{r}, a q / c_{1}, \dots, a q / c_{r}; q)_{n}} {(\frac{a^{r} q^{r}}{b_{1} \dots b_{r} c_{1} \dots c_{r}})}^{n} α_{n} \end{array}$
と
$\begin{aligned} \frac{1}{(a q / b_{r}, a q / c_{r}; q)_{n}} \sum_{0 \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{(a q / b_{r} c_{r}; q)_{n - n_{r}}}{(q; q)_{n - n_{r}}} {(\frac{a q}{b_{r} c_{r}})}^{n_{r}} \\ \cdot (\prod_{j = 2}^{r} \frac{(b_{j}, c_{j}; q)_{n_{j}}}{(a q / b_{j - 1}, a q / c_{j - 1}; q)_{n_{j}}} {(\frac{a q}{b_{j - 1} c_{j - 1}})}^{n_{j - 1}} \frac{(a q / b_{j - 1} c_{j - 1}; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}}{(q; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}}) (b_{1}, c_{1}; q)_{n_{1}} β_{n_{1}} \end{aligned}$
が $a$ に関するBailey対であることと同値であり, それは $(α_{n}, β_{n})$ にBaileyの補題を $r$ 回適用して得られるBailey対である.

この応用として以下の等式が示される.

Andrews(1975)

$N, r$ が非負整数であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{r + 1}, c_{1}, \dots, c_{r + 1}, q^{- N}; q)_{n}}{(1 - a) (a q / b_{1}, \dots, a q / b_{r + 1}, a q / c_{1}, \dots, a q / c_{r + 1}, a q^{N + 1}, q; q)_{n}} {(\frac{a^{r + 1} q^{r + N + 1}}{b_{1} \dots b_{r + 1} c_{1} \dots c_{r + 1}})}^{n} \\ = \frac{(a q, a q / b_{r + 1} c_{r + 1}; q)_{N}}{(a q / b_{r + 1}, a q / c_{r + 1}; q)_{N}} \sum_{0 = n_{0} \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \frac{(q^{- N}; q)_{n_{r}}}{(b_{r + 1} c_{r + 1} q^{- N} / a; q)_{n_{r}}} q^{n_{r}} \\ \cdot \prod_{j = 1}^{r} \frac{(b_{j + 1}, c_{j + 1}; q)_{n_{j}}}{(a q / b_{j}, a q / c_{j}; q)_{n_{j}}} {(\frac{a q}{b_{j} c_{j}})}^{n_{j - 1}} \frac{(a q / b_{j} c_{j}; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}}{(q; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}} \end{aligned}$
が成り立つ.

前の記事の補題1より $(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関するBailey対であることは
$\begin{array}{r} α_{n} = \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \sum_{j = 0}^{n} \frac{(a q; q)_{n + j} (- 1)^{n} q^{(\binom{n - j}{2})}}{(q; q)_{n - j}} β_{j} \end{array}$
Kroneckerデルタを用いて $β_{n} := δ_{n, 0}$ として
$\begin{array}{r} α_{n} := \frac{1 - a q^{2 n}}{1 - a} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} (- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})} \end{array}$
とすると $(α_{n}, β_{n})$ はBailey対である. よって, これを定理1に代入し, $r \mapsto r + 1$ として添字を少し書き換えると定理を得る.

Andrewsの恒等式はかなり一般的な等式であるので, いくつか具体例を見ていく. まず, $r = 0$ のとき, $(b_{1}, c_{1}) = (b, c)$ と書くと
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a, b, c, q^{- N}; q)_{n}}{(1 - a) (a q / b, a q / c, a q^{N + 1}, q; q)} {(\frac{a q^{N + 1}}{b c})}^{n} & = \frac{(a q, a q / b c; q)_{N}}{(a q / b, a q / c; q)_{N}} \end{aligned}$
となる. これはRogersの $_{6} ϕ_{5}$ 和公式のterminatingな場合である. 次に, $r = 1$ のとき, $(b_{1}, c_{1}, b_{2}, c_{2}) = (b, c, d, e)$ と書くと,

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a, b, c, d, e, q^{- N}; q)_{n}}{(1 - a) (a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q^{N + 1}, q; q)} {(\frac{a^{2} q^{N + 2}}{b c d e})}^{n} \\ = \frac{(a q, a q / d e; q)_{N}}{(a q / d, a q / e; q)_{N}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q / b c, d, e, q^{- N}; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, d e q^{- N} / a, q; q)_{n}} q^{n} \end{aligned}$
となる. これは Watsonの $_{8} ϕ_{7}$ 変換公式である. 次に $r = 2$ のとき, $(b_{1}, c_{1}, b_{2}, c_{2}, b_{3}, c_{3}) = (b, c, d, e, f, g)$ と書くと,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a, b, c, d, e, f, g, q^{- N}; q)_{n}}{(1 - a) (a q / b, a q / c, a q / d, a q / e, a q / f, a q / g, a q^{N + 1}, q; q)} {(\frac{a^{3} q^{N + 3}}{b c d e f g})}^{n} \\ = \frac{(a q, a q / f g; q)_{N}}{(a q / f, a q / g; q)_{N}} \sum_{0 \leq n \leq m} \frac{(f, g, q^{- N}; q)_{m}}{(a q / d, a q / e, f g q^{- N} / a; q)_{m}} q^{m} \frac{(a q / d e; q)_{m - n}}{(q; q)_{m - n}} \frac{(a q / b c, d, e; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, q; q)_{n}} {(\frac{a q}{d e})}^{n} \end{aligned}$
となる.

定理2において $N \to \infty$ とすると, 以下を得る.

$r$ が非負整数であるとき,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a, b_{1}, b_{2}, \dots, b_{r + 1}, c_{1}, \dots, c_{r + 1}; q)_{n}}{(1 - a) (a q / b_{1}, \dots, a q / b_{r + 1}, a q / c_{1}, \dots, a q / c_{r + 1}, q; q)_{n}} {(- \frac{a^{r + 1} q^{r + 1}}{b_{1} \dots b_{r + 1} c_{1} \dots c_{r + 1}})}^{n} q^{(\binom{n}{2})} \\ = \frac{(a q, a q / b_{r + 1} c_{r + 1}; q)_{\infty}}{(a q / b_{r + 1}, a q / c_{r + 1}; q)_{\infty}} \sum_{0 = n_{0} \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \prod_{j = 1}^{r} \frac{(b_{j + 1}, c_{j + 1}; q)_{n_{j}}}{(a q / b_{j}, a q / c_{j}; q)_{n_{j}}} {(\frac{a q}{b_{j + 1} c_{j + 1}})}^{n_{j}} \frac{(a q / b_{j} c_{j}; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}}{(q; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}} \end{aligned}$
が成り立つ.

この特別な場合として, $b_{1}, \dots, b_{r + 1}, c_{1}, \dots, c_{r + 1} \to \infty$ とすると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a; q)_{n}}{(1 - a) (q; q)_{n}} {(- 1)^{n} (a q)}^{(r + 1) n} q^{(2 r + 3) (\binom{n}{2})} \\ = (a q; q)_{\infty} \sum_{0 = n_{0} \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \prod_{j = 1}^{r} \frac{a^{n_{j}} q^{n_{j}^{2}}}{(q; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}} \end{aligned}$
とシンプルな式になる. これより, $a \to 1$ の極限において, Jacobiの三重積を用いて
$\begin{aligned} \sum_{0 = n_{0} \leq n_{1} \leq \dots \leq n_{r}} \prod_{j = 1}^{r} \frac{q^{n_{j}^{2}}}{(q; q)_{n_{j} - n_{j - 1}}} & = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} lim_{a \to 1} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a; q)_{n}}{(1 - a) (q; q)_{n}} {(- 1)^{n} (a q)}^{(r + 1) n} q^{2 r (\binom{n}{2})} \\ = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{(2 r + 3) (\binom{n}{2}) + (r + 1) n} \\ = \frac{(q^{r + 1}, q^{r + 2}, q^{2 r + 3}; q^{2 r + 3})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
と表される. これはAndrews-Gordon関係式と呼ばれる関係式族の中の1つであり, $r = 1$ の場合Rogers-Ramanujan恒等式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n^{2}}}{(q; q)_{n}} & = \frac{1}{(q, q^{4}; q^{5})_{\infty}} \end{aligned}$
に一致する.