Andrewsの恒等式
少し前の記事
でBailey対とBaileyの補題について扱った. $(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関するBailey対であるとは,
\begin{align}
\beta_n=\sum_{k=0}^n\frac{\alpha_k}{(q;q)_{n-k}(aq;q)_{n+k}}
\end{align}
を満たしていることであり, そのとき,
\begin{align}
\alpha_n'&:=\frac{(b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c;q)_n}\left(\frac{aq}{bc}\right)^n\alpha_n\\
\beta_n'&:=\frac 1{(aq/b,aq/c;q)_n}\sum_{j=0}^n\frac{(b,c;q)_j(aq/bc;q)_{n-j}}{(q;q)_{n-j}}\left(\frac{aq}{bc}\right)^j\beta_j
\end{align}
とすれば, $(\alpha_n',\beta_n')$も$a$に関するBailey対になるというのがBaileyの補題であった. この$(\alpha_n',\beta_n')$に対してさらにBaileyの補題を適用して$(\alpha_n'',\beta_n'')$を得るが, このようにBaileyの補題を繰り返し用いることによって以下の等式を得る.
$N$が非負整数, $(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関するBailey対であるとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(b_1,b_2,\dots,b_r,c_1,\dots,c_r,q^{-N};q)_n}{(aq/b_1,\dots,aq/b_r,aq/c_1,\dots,aq/c_r,aq^{N+1};q)_n}\left(-\frac{a^rq^{r+N}}{b_1\cdots b_rc_1\cdots c_r}\right)^nq^{-\binom n2}\alpha_n\\
&=\frac{(aq,aq/b_rc_r;q)_N}{(aq/b_r,aq/c_r;q)_N}\sum_{0\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{(q^{-N};q)_{n_r}}{(b_rc_rq^{-N}/a;q)_{n_r}}q^{n_r}\\
&\qquad\cdot \left(\prod_{j=2}^{r}\frac{(b_j,c_j;q)_{n_j}}{(aq/b_{j-1},aq/c_{j-1};q)_{n_j}}\left(\frac{aq}{b_{j-1}c_{j-1}}\right)^{n_{j-1}}\frac{(aq/b_{j-1}c_{j-1};q)_{n_j-n_{j-1}}}{(q;q)_{n_j-n_{j-1}}}\right)(b_1,c_1;q)_{n_1}\beta_{n_1}
\end{align}
が成り立つ.
左辺は
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(b_1,b_2,\dots,b_r,c_1,\dots,c_r,q^{-N};q)_n}{(aq/b_1,\dots,aq/b_r,aq/c_1,\dots,aq/c_r,aq^{N+1};q)_n}\left(-\frac{a^rq^{r+N}}{b_1\cdots b_rc_1\cdots c_r}\right)^nq^{-\binom n2}\alpha_n\\
&=(aq,q;q)_N\sum_{0\leq n}\frac{(b_1,b_2,\dots,b_r,c_1,\dots,c_r;q)_n}{(aq/b_1,\dots,aq/b_r,aq/c_1,\dots,aq/c_r;q)_n}\left(\frac{a^rq^{r}}{b_1\cdots b_rc_1\cdots c_r}\right)^n\frac{\alpha_n}{(aq;q)_{N+n}(q;q)_{N-n}}\\
\end{align}
右辺は
\begin{align}
&\frac{(aq,aq/b_rc_r;q)_N}{(aq/b_r,aq/c_r;q)_N}\sum_{0\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{(q^{-N};q)_{n_r}}{(b_rc_rq^{-N}/a;q)_{n_r}}q^{n_r}\\
&\qquad\cdot \left(\prod_{j=2}^{r}\frac{(b_j,c_j;q)_{n_j}}{(aq/b_{j-1},aq/c_{j-1};q)_{n_j}}\left(\frac{aq}{b_{j-1}c_{j-1}}\right)^{n_{j-1}}\frac{(aq/b_{j-1}c_{j-1};q)_{n_j-n_{j-1}}}{(q;q)_{n_j-n_{j-1}}}\right)\beta_{n_1}\\
&\frac{(aq,q;q)_N}{(aq/b_r,aq/c_r;q)_N}\sum_{0\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{(aq/b_rc_r;q)_{N-n_r}}{(q;q)_{N-n_r}}\left(\frac{aq}{b_rc_r}\right)^{n_r}\\
&\qquad\cdot \left(\prod_{j=2}^{r}\frac{(b_j,c_j;q)_{n_j}}{(aq/b_{j-1},aq/c_{j-1};q)_{n_j}}\left(\frac{aq}{b_{j-1}c_{j-1}}\right)^{n_{j-1}}\frac{(aq/b_{j-1}c_{j-1};q)_{n_j-n_{j-1}}}{(q;q)_{n_j-n_{j-1}}}\right)(b_1,c_1;q)_{n_1}\beta_{n_1}
\end{align}
となる. これは
\begin{align}
\frac{(b_1,b_2,\dots,b_r,c_1,\dots,c_r;q)_n}{(aq/b_1,\dots,aq/b_r,aq/c_1,\dots,aq/c_r;q)_n}\left(\frac{a^rq^{r}}{b_1\cdots b_rc_1\cdots c_r}\right)^n\alpha_n
\end{align}
と
\begin{align}
&\frac{1}{(aq/b_r,aq/c_r;q)_n}\sum_{0\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{(aq/b_rc_r;q)_{n-n_r}}{(q;q)_{n-n_r}}\left(\frac{aq}{b_rc_r}\right)^{n_r}\\
&\qquad\cdot \left(\prod_{j=2}^{r}\frac{(b_j,c_j;q)_{n_j}}{(aq/b_{j-1},aq/c_{j-1};q)_{n_j}}\left(\frac{aq}{b_{j-1}c_{j-1}}\right)^{n_{j-1}}\frac{(aq/b_{j-1}c_{j-1};q)_{n_j-n_{j-1}}}{(q;q)_{n_j-n_{j-1}}}\right)(b_1,c_1;q)_{n_1}\beta_{n_1}
\end{align}
が$a$に関するBailey対であることと同値であり, それは$(\alpha_n,\beta_n)$にBaileyの補題を$r$回適用して得られるBailey対である.
この応用として以下の等式が示される.
$N,r$が非負整数であるとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b_1,b_2,\dots,b_{r+1},c_1,\dots,c_{r+1},q^{-N};q)_n}{(1-a)(aq/b_1,\dots,aq/b_{r+1},aq/c_1,\dots,aq/c_{r+1},aq^{N+1},q;q)_n}\left(\frac{a^{r+1}q^{r+N+1}}{b_1\cdots b_{r+1}c_1\cdots c_{r+1}}\right)^n\\
&=\frac{(aq,aq/b_{r+1}c_{r+1};q)_N}{(aq/b_{r+1},aq/c_{r+1};q)_N}\sum_{0= n_0\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\frac{(q^{-N};q)_{n_r}}{(b_{r+1}c_{r+1}q^{-N}/a;q)_{n_r}}q^{n_r}\\
&\qquad\cdot \prod_{j=1}^{r}\frac{(b_{j+1},c_{j+1};q)_{n_j}}{(aq/b_{j},aq/c_{j};q)_{n_j}}\left(\frac{aq}{b_{j}c_{j}}\right)^{n_{j-1}}\frac{(aq/b_{j}c_{j};q)_{n_j-n_{j-1}}}{(q;q)_{n_j-n_{j-1}}}
\end{align}
が成り立つ.
前の記事
の補題1より$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関するBailey対であることは
\begin{align}
\alpha_n=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\sum_{j=0}^n\frac{(aq;q)_{n+j}(-1)^nq^{\binom{n-j}2}}{(q;q)_{n-j}}\beta_j
\end{align}
Kroneckerデルタを用いて$\beta_n:=\delta_{n,0}$として
\begin{align}
\alpha_n:=\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(-1)^nq^{\binom n2}
\end{align}
とすると$(\alpha_n,\beta_n)$はBailey対である. よって, これを定理1に代入し, $r\mapsto r+1$として添字を少し書き換えると定理を得る.
Andrewsの恒等式はかなり一般的な等式であるので, いくつか具体例を見ていく. まず, $r=0$のとき, $(b_1,c_1)=(b,c)$と書くと
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,q^{-N};q)_n}{(1-a)(aq/b,aq/c,aq^{N+1},q;q)}\left(\frac{aq^{N+1}}{bc}\right)^n&=\frac{(aq,aq/bc;q)_N}{(aq/b,aq/c;q)_N}
\end{align}
となる. これはRogersの${}_6\phi_5$和公式のterminatingな場合である. 次に, $r=1$のとき, $(b_1,c_1,b_2,c_2)=(b,c,d,e)$と書くと,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d,e,q^{-N};q)_n}{(1-a)(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq^{N+1},q;q)}\left(\frac{a^2q^{N+2}}{bcde}\right)^n\\
&=\frac{(aq,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e;q)_N}\sum_{0\leq n}\frac{(aq/bc,d,e,q^{-N};q)_n}{(aq/b,aq/c,deq^{-N}/a,q;q)_n}q^n
\end{align}
となる. これは
Watsonの${}_8\phi_7$変換公式
である. 次に$r=2$のとき, $(b_1,c_1,b_2,c_2,b_3,c_3)=(b,c,d,e,f,g)$と書くと,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,d,e,f,g,q^{-N};q)_n}{(1-a)(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{N+1},q;q)}\left(\frac{a^3q^{N+3}}{bcdefg}\right)^n\\
&=\frac{(aq,aq/fg;q)_N}{(aq/f,aq/g;q)_N}\sum_{0\leq n\leq m}\frac{(f,g,q^{-N};q)_m}{(aq/d,aq/e,fgq^{-N}/a;q)_m}q^m\frac{(aq/de;q)_{m-n}}{(q;q)_{m-n}}\frac{(aq/bc,d,e;q)_n}{(aq/b,aq/c,q;q)_n}\left(\frac{aq}{de}\right)^n
\end{align}
となる.
定理2において$N\to\infty$とすると, 以下を得る.
$r$が非負整数であるとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a,b_1,b_2,\dots,b_{r+1},c_1,\dots,c_{r+1};q)_n}{(1-a)(aq/b_1,\dots,aq/b_{r+1},aq/c_1,\dots,aq/c_{r+1},q;q)_n}\left(-\frac{a^{r+1}q^{r+1}}{b_1\cdots b_{r+1}c_1\cdots c_{r+1}}\right)^nq^{\binom n2}\\
&=\frac{(aq,aq/b_{r+1}c_{r+1};q)_{\infty}}{(aq/b_{r+1},aq/c_{r+1};q)_{\infty}}\sum_{0= n_0\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\prod_{j=1}^{r}\frac{(b_{j+1},c_{j+1};q)_{n_j}}{(aq/b_{j},aq/c_{j};q)_{n_j}}\left(\frac{aq}{b_{j+1}c_{j+1}}\right)^{n_{j}}\frac{(aq/b_{j}c_{j};q)_{n_j-n_{j-1}}}{(q;q)_{n_j-n_{j-1}}}
\end{align}
が成り立つ.
この特別な場合として, $b_1,\dots,b_{r+1},c_1,\dots,c_{r+1}\to\infty$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a;q)_n}{(1-a)(q;q)_n}\left(-1)^n(aq\right)^{(r+1)n}q^{(2r+3)\binom n2}\\
&=(aq;q)_{\infty}\sum_{0= n_0\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\prod_{j=1}^{r}\frac{a^{n_j}q^{n_j^2}}{(q;q)_{n_j-n_{j-1}}}
\end{align}
とシンプルな式になる. これより, $a\to 1$の極限において, Jacobiの三重積を用いて
\begin{align}
\sum_{0= n_0\leq n_1\leq\cdots\leq n_r}\prod_{j=1}^{r}\frac{q^{n_j^2}}{(q;q)_{n_j-n_{j-1}}}&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\lim_{a\to 1}\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(a;q)_n}{(1-a)(q;q)_n}\left(-1)^n(aq\right)^{(r+1)n}q^{2r\binom n2}\\
&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{(2r+3)\binom n2+(r+1)n}\\
&=\frac{(q^{r+1},q^{r+2},q^{2r+3};q^{2r+3})_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}
\end{align}
と表される. これはAndrews-Gordon関係式と呼ばれる関係式族の中の1つであり, $r=1$の場合Rogers-Ramanujan恒等式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^{n^2}}{(q;q)_n}&=\frac 1{(q,q^4;q^5)_{\infty}}
\end{align}
に一致する.
