行列式は既約多項式

行列式,既約多項式,微分

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はじめに

~~行列式は既約多項式であることを微分を用いて証明します.~~
2024/12/16追記：微分を使わなくても証明できたので差し替えました.
間違いがあれば教えてください.

問題

以下では[1]の内容を証明抜きに, あるいは断りなく用います.
まず正確な主張を述べます.

$R$ を整域とする. また $R$ 上の $n^{2}$ 変数多項式環を $A_{n} = R [x_{11}, \dots, x_{1 n}, \dots, x_{n 1}, \dots, x_{n n}]$ とおく.
$\det$ を $A_{n}$ の元
$\sum_{σ \in S_{n}} sgn (σ) x_{1 σ (1)} \dots x_{n σ (n)}$

として定める. ( $n$ 次行列の行列式)
このとき, $\det$ は $A_{n}$ の元として既約多項式である.

証明

$\det = f g$ ( $f$ , $g \in A_{n}$ )とする.

まず $R$ は整域なので $A_{n}$ の単元群は $R$ の単元群に一致することに注意する(このことは次数の考察からわかる).

もしある変数 $x_{i j}$ が $f$ , $g$ の両方に現れるとすると $\det = f g$ には $x_{i j}^{2}$ が現れるが, これは $\det$ は行列のどの成分の $2$ 乗も現れないことに矛盾する. よって $f$ , $g$ に共通する変数 $x_{i j}$ は存在しない.

そこで必要なら $f$ , $g$ を入れ替え, $f$ に $x_{11}$ が現れる( $g$ には現れない)としてよい.

ここでもし $g$ に $x_{1 i}$ $(2 \leq i \leq n)$ が現れるとすると $\det$ に $x_{11} x_{1 i}$ が現れる. これは $\det$ の形に矛盾する. よって $x_{1 i}$ $(1 \leq i \leq n)$ は $f$ に現れ, $g$ には現れない.

このことから, $g$ に $x_{i i}$ $(2 \leq i \leq n)$ が現れるとすると $\det$ に $x_{1 i} x_{i i}$ が現れてしまい矛盾( $σ (1) \dots σ (n)$ は相異なる). よって $x_{i i}$ $(1 \leq i \leq n)$ は $f$ に現れ, $g$ には現れない.

以上と $\det$ の形から, $f$ には $x_{11} \dots x_{n n}$ なる項が現れなくてはならない. $\det$ は $n$ 次斉次式なので, $R$ が整域であることから $f$ , $g$ は $n$ 次以下の斉次式である. 今 $f$ が $n$ 次以上であることが分かったので, $f$ は $n$ 次斉次式である. よって $\det = f$ である.