sinxの分解にチャレンジ

今回の問題

$\mathrm{rin}(0)$の値を求める

まずは一つ値を求めてみましょう。
前回導出した、合成不動点定理を利用して$\mathrm{rin}(0)$を求めます。
これからは$g(g(x))=f(x)$を満たす関数$g$を$f_{\tiny[\frac{1}{2}]}(x)$と書きます。
前回の記事→ 合成関数の逆操作について

方程式$x=\sin x$を満たすのは$x=0$のときだけなので、$\mathrm{rin}(0)=0$。

一つ値が分かったので、微分してテイラー展開での表現を目指します。

微分しまくる

$\mathrm{rin}'(0)$の値

$\mathrm{rin}(\mathrm{rin}~x)=\sin x$の両辺を微分すると、左辺は合成関数の微分なので、
$$\mathrm{rin}'(x)\cdot\mathrm{rin}'(\mathrm{rin}~x)=\cos x$$ $x=0$を代入して、\begin{eqnarray}\mathrm{rin}'(0)\cdot\mathrm{rin}'(\mathrm{rin}~0)&=&\cos 0 \\[6pt] \mathrm{rin}'(0)\cdot\mathrm{rin}'(0)&=&1 \\[6pt] \left(\mathrm{rin}'(0)\right)^2&=&1\\[6pt]\mathrm{rin}'(0)&=&1 \end{eqnarray}

$\mathrm{rin}''(0)$の値

$\mathrm{rin}'(x)\cdot\mathrm{rin}'(\mathrm{rin}~x)=\cos x$をもう一度微分すると、
$$(\operatorname{rin}'(x))^2 \cdot \operatorname{rin}''(\operatorname{rin}(x)) + \operatorname{rin}''(x) \cdot \operatorname{rin}'(\operatorname{rin}(x)) =-\sin x$$

$\operatorname{rin}'''(0)$の値

結構めんどくさくなってきたのでwolfram alphaに計算してもらいました。

$(\operatorname{rin}'(x))^2 \cdot \operatorname{rin}''(\operatorname{rin}(x)) + \operatorname{rin}''(x) \cdot \operatorname{rin}'(\operatorname{rin}(x)) =-\sin x$をもう一度微分すると、
$$ \operatorname{rin}'''(\operatorname{rin}(x)) (\operatorname{rin}'(x))^3 + 3\operatorname{rin}''(\operatorname{rin}(x)) \operatorname{rin}'(x) \operatorname{rin}''(x) + \operatorname{rin}'(\operatorname{rin}(x)) \operatorname{rin}'''(x)=-\cos x $$
$x=0$を代入すると、
\begin{eqnarray} \operatorname{rin}'''(\operatorname{rin}(0)) (\operatorname{rin}'(0))^3 + 3\operatorname{rin}''(\operatorname{rin}(0)) \operatorname{rin}'(0) \operatorname{rin}''(0) + \operatorname{rin}'(\operatorname{rin}(0)) \operatorname{rin}'''(0)&=&-\cos 0 \\[7pt] 2\operatorname{rin}'''(0) &=& -1 \\[7pt] \operatorname{rin}'''(0)&=&-\frac{1}{2} \end{eqnarray}

同様にして、$\operatorname{rin}^{(4)}(0), \operatorname{rin}^{(5)}(0)...$の値も求める

あとはもう同様に計算していくだけです。
$\operatorname{rin}^{(10)}(0)$までの結果を記します。

$$ \operatorname{rin}^{(4)}(0)=0$$
$$ \operatorname{rin}^{(5)}(0)=-\frac{3}{4}$$
$$\operatorname{rin}^{(6)}(0)=0 $$
$$\operatorname{rin}^{(7)}(0)=-\frac{53}{8}$$
$$\operatorname{rin}^{(8)}(0)=0$$
$$\operatorname{rin}^{(9)}(0)=-\frac{1863}{16}$$
$$\operatorname{rin}^{(10)}(0)=0$$
微分した回数が偶数回の時は0になっていて、奇数回の時は分母が2の累乗のかたちになっています。

テイラー展開

$\operatorname{rin}(x)$をテイラー展開で近似した結果は次のようになります。

これを見ればわかるように、分母は規則的な形をしていますが、分子の規則性はあまりよくわかりません。
$\operatorname{rin}(x)$の近似 ($-\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}$位まで近似できている)
青:上式の2回合成　赤:$\sin x$
グラフを見る限り、正しく$ \operatorname{rin}(x)$を近似できてそうです。

テイラー展開の分子の形

検索してみたところ オンライン整数列大辞典のA098932 に$\operatorname{rin}(x)$のテイラー展開の分子が載っていました。
最初の20項を載せておきます。
$$1, -1, -3, -53, -1863, -92713, -3710155, 594673187, 329366540401, 104491760828591, 19610322215706989, -5244397496803513989, -7592640928150019948759, -2156328049189410651012985, 3923796638128806973444887205,4835995123161649256573006676435, -4268483751449486260917713386079007,-18581347500475204057583673499997006497,-2144424268151426688705328023020488421667,108688458572837735664509183201007928496768811$$
符号が変化しながら、急速に数が巨大になっています。
一般項についてはよくわかりませんでした。わかったことがあればまた書きます。

結論