sinxの分解にチャレンジ

今回の問題

$\mathrm{rin}(0)$の値を求める

まずは一つ値を求めてみましょう。
前回導出した、合成不動点定理を利用して$\mathrm{rin}(0)$を求めます。
これからは$g(g(x))=f(x)$を満たす関数$g$を$f_{[\frac{1}{2}]}(x)$と書きます。
前回の記事→ 合成関数の逆操作について

方程式$x=\sin x$を満たすのは$x=0$のときだけなので、$\mathrm{rin}(0)=0$。

一つ値が分かったので、微分してテイラー展開での表現を目指します。

微分しまくる

${\mathrm{rin}}^{\prime }(0)$の値

$\mathrm{rin}(\mathrm{rin}x)=\sin x$の両辺を微分すると、左辺は合成関数の微分なので、
$${\mathrm{rin}}^{\prime }(x)\cdot {\mathrm{rin}}^{\prime }(\mathrm{rin}x)=\cos x$$ $x=0$を代入して、$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{rin}}^{\prime }(0)\cdot {\mathrm{rin}}^{\prime }(\mathrm{rin}0)& =& \cos 0\\ {\mathrm{rin}}^{\prime }(0)\cdot {\mathrm{rin}}^{\prime }(0)& =& 1\\ {({\mathrm{rin}}^{\prime }(0))}^2& =& 1\\ {\mathrm{rin}}^{\prime }(0)& =& 1\end{array}$$

${\mathrm{rin}}^{″}(0)$の値

${\mathrm{rin}}^{\prime }(x)\cdot {\mathrm{rin}}^{\prime }(\mathrm{rin}x)=\cos x$をもう一度微分すると、
$$({\mathrm{rin}}^{\prime }(x){)}^2\cdot {\mathrm{rin}}^{″}(\mathrm{rin}(x))+{\mathrm{rin}}^{″}(x)\cdot {\mathrm{rin}}^{\prime }(\mathrm{rin}(x))=-\sin x$$

${\mathrm{rin}}^{‴}(0)$の値

結構めんどくさくなってきたのでwolfram alphaに計算してもらいました。

$({\mathrm{rin}}^{\prime }(x){)}^2\cdot {\mathrm{rin}}^{″}(\mathrm{rin}(x))+{\mathrm{rin}}^{″}(x)\cdot {\mathrm{rin}}^{\prime }(\mathrm{rin}(x))=-\sin x$をもう一度微分すると、
$${\mathrm{rin}}^{‴}(\mathrm{rin}(x))({\mathrm{rin}}^{\prime }(x){)}^3+3{\mathrm{rin}}^{″}(\mathrm{rin}(x)){\mathrm{rin}}^{\prime }(x){\mathrm{rin}}^{″}(x)+{\mathrm{rin}}^{\prime }(\mathrm{rin}(x)){\mathrm{rin}}^{‴}(x)=-\cos x$$
$x=0$を代入すると、
$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{rin}}^{‴}(\mathrm{rin}(0))({\mathrm{rin}}^{\prime }(0){)}^3+3{\mathrm{rin}}^{″}(\mathrm{rin}(0)){\mathrm{rin}}^{\prime }(0){\mathrm{rin}}^{″}(0)+{\mathrm{rin}}^{\prime }(\mathrm{rin}(0)){\mathrm{rin}}^{‴}(0)& =& -\cos 0\\ 2{\mathrm{rin}}^{‴}(0)& =& -1\\ {\mathrm{rin}}^{‴}(0)& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

同様にして、${\mathrm{rin}}^{(4)}(0),{\mathrm{rin}}^{(5)}(0)...$の値も求める

あとはもう同様に計算していくだけです。
${\mathrm{rin}}^{(10)}(0)$までの結果を記します。

$${\mathrm{rin}}^{(4)}(0)=0$$
$${\mathrm{rin}}^{(5)}(0)=-\frac{3}{4}$$
$${\mathrm{rin}}^{(6)}(0)=0$$
$${\mathrm{rin}}^{(7)}(0)=-\frac{53}{8}$$
$${\mathrm{rin}}^{(8)}(0)=0$$
$${\mathrm{rin}}^{(9)}(0)=-\frac{1863}{16}$$
$${\mathrm{rin}}^{(10)}(0)=0$$
微分した回数が偶数回の時は0になっていて、奇数回の時は分母が2の累乗のかたちになっています。

テイラー展開

$\mathrm{rin}(x)$をテイラー展開で近似した結果は次のようになります。

これを見ればわかるように、分母は規則的な形をしていますが、分子の規則性はあまりよくわかりません。
$\mathrm{rin}(x)$の近似 ($-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$位まで近似できている)
青:上式の2回合成　赤:$\sin x$
グラフを見る限り、正しく$\mathrm{rin}(x)$を近似できてそうです。

テイラー展開の分子の形

検索してみたところ オンライン整数列大辞典のA098932 に$\mathrm{rin}(x)$のテイラー展開の分子が載っていました。
最初の20項を載せておきます。
$$1,-1,-3,-53,-1863,-92713,-3710155,594673187,329366540401,104491760828591,19610322215706989,-5244397496803513989,-7592640928150019948759,-2156328049189410651012985,3923796638128806973444887205,4835995123161649256573006676435,-4268483751449486260917713386079007,-18581347500475204057583673499997006497,-2144424268151426688705328023020488421667,108688458572837735664509183201007928496768811$$
符号が変化しながら、急速に数が巨大になっています。
一般項についてはよくわかりませんでした。わかったことがあればまた書きます。

結論