合成関数の逆操作について

関数的平方根

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hello

初めましてcbrtxです。
関数的平方根の記事を読んで、自分も調べてみたいと思い投稿することにしました。

関数的平方根

$f (x)$ の関数的平方根とは任意の $x \in R$ ( $C$ かも)において、

$f (x) = g (g (x))$ 　を満たす $g (x)$ のことであり、 $g (x)$ を $f_{[\frac{1}{2}]} (x)$ と表す。

定義が分かったところで性質を確認してみましょう。

交換

$f_{[\frac{1}{2}]} (f (x)) = f (f_{[\frac{1}{2}]} (x))$

定義より $f (x) = f_{[\frac{1}{2}]} (f_{[\frac{1}{2}]} (x))$ であるから、
$f (f_{[\frac{1}{2}]} (x)) = f_{[\frac{1}{2}]} (f_{[\frac{1}{2}]} (f_{[\frac{1}{2}]} (x)))$
よって、 $f (f_{[\frac{1}{2}]} (x)) = f_{[\frac{1}{2}]} (f (x))$

合成不動点定理 (適当)

方程式 $x = f (x)$ の唯一の解が $α$ であるとき、 $f_{[\frac{1}{2}]} (α) = α$

$f_{[\frac{1}{2}]} (α) = β (α \neq β)$ と仮定する。
$\begin{array}{rcl} f_{[\frac{1}{2}]} (f_{[\frac{1}{2}]} (α)) & = & f (α) \\ f_{[\frac{1}{2}]} (β) & = & α \end{array}$ さらに、 $f_{[\frac{1}{2}]} (f_{[\frac{1}{2}]} (β)) = f (β)$ なので、
$\begin{array}{rcl} f_{[\frac{1}{2}]} (f_{[\frac{1}{2}]} (β)) & = & f (β) \\ f_{[\frac{1}{2}]} (α) & = & f (β) \\ β & = & f (β) \end{array}$
これは $α$ が $x = f (x)$ の唯一の解であることに矛盾。
よって $f_{[\frac{1}{2}]} (α) = α$

$γ \neq f (γ)$ であれば、 $γ \neq f_{[\frac{1}{2}]} (γ)$

証明略　背理法を使えば証明できる。

これらの性質はいずれ使います。(予定)

試しにやってみる

$f (x) = x^{2}$ の関数的平方根を1つ求めよ。

方針： $f_{[\frac{1}{2}]} (x) = x^{a}$ の形と予想する。
$f_{[\frac{1}{2}]} (f_{[\frac{1}{2}]} (x)) = (x^{a})^{a} = x^{a^{2}}$ これが $x^{2}$ と等しくなるから、
$\begin{array}{rcl} x^{a^{2}} & = & x^{2} \\ a^{2} & = & 2 \\ a & = & \pm \sqrt{2} \end{array}$ 一つ求めるだけでいいから、 $+$ のほうを選んで $x^{\sqrt{2}}$

さらに一般化した問題も解いてみましょう。

$f (x) = a x^{b} (a, b > 0)$ の関数的平方根を1つ求めよ。

$f_{[\frac{1}{2}]} (x) = u x^{v}$ と仮定する。
$a x^{b} = f (x) = f_{[\frac{1}{2}]} (f_{[\frac{1}{2}]} (x)) = u (u x^{v})^{v} = u^{v + 1} x^{v^{2}}$
つまり、 $a = u^{v + 1}, b = v^{2}$
よって、 $v = \sqrt{b}$ 。代入して、 $u = a^{\frac{1}{\sqrt{b} + 1}}$
$f_{[\frac{1}{2}]} (x) = a^{\frac{1}{\sqrt{b} + 1}} x^{\sqrt{b}}$