疑問：2回合成してe^xとなる関数は？

関数的平方根,半指数関数

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はじめに

表題のとおりです。
2回合成して $e^{x}$ となる関数はあるのでしょうか。また、どのような関数でしょうか。
今回の記事ではそのようなことを検討していきます。

$f (f (x)) = e^{x}$ を満たす関数 $f : R \to R$ が存在するか調べよ。
また、存在する場合には解の一つを求めよ。

性質を調べる

指数的交代則

$f (e^{x}) = e^{f (x)}$

$\begin{array}{rcl} f (f (x)) & = & e^{x} \\ f (f (f (x))) & = & e^{f (x)} \\ f (e^{x}) & = & e^{f (x)} \end{array}$

$x > 0 ならば、 f (x) > 0$

証明略。定理1より。

対数的交代則

$f (\ln x) = \ln f (x) (x > 0)$

$\begin{array}{rcl} 定理1より、 e^{x} = t とおくと、 \\ f (t) & = & e^{f (\ln t)} \\ 定理2より、 \\ \ln f (t) & = & f (\ln t) \end{array}$

指数タワー

$n \in N, n > 0 :$
$f (\underset{n}{\underset{⏟}{e^{{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}^{e}}}}) = {\underset{n + 1}{\underset{⏟}{e^{{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}^{e}}}}}^{f (0)} = \exp^{n + 1} (f (0))$

数学的帰納法による

$n = 1$ のとき、定理1より、
$f (e) = e^{f (1)} = e^{e^{f (0)}}$

$n = k - 1$ で成り立つと仮定したとき、
$\begin{array}{rcl} f (\underset{k}{\underset{⏟}{e^{{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}^{e}}}}) & = & e^{f (\underset{k - 1}{\underset{⏟}{e^{{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}^{e}}}})} \\ = & e^{{\underset{k}{\underset{⏟}{e^{{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}^{e}}}}}^{f (0)}} \\ = & {\underset{k + 1}{\underset{⏟}{e^{{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}^{e}}}}}^{f (0)} \end{array}$

ゆえに、 $f (\underset{n}{\underset{⏟}{e^{{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}^{e}}}}) = {\underset{n + 1}{\underset{⏟}{e^{{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}^{e}}}}}^{f (0)}$

指数昇降の一致

$f (x) = \ln f (\exp x)$
$f (x) = \exp f (\ln x) (x > 0)$

証明略。定理1,3より。

逆関数

逆関数が存在するならば、
$f^{- 1} (x) = \ln f (x) (x > 0)$

$\begin{array}{rcl} 定理1(2)より、 \\ \ln f (x) & = & f (\ln x) \\ \ln f (f (x)) & = & f (\ln f (x)) \\ 前提より、 \\ \ln e^{x} & = & f (\ln f (x)) \\ x & = & f (\ln f (x)) \\ f^{- 1} (x) & = & \ln f (x) \end{array}$

多重指数昇降の一致

$\forall n \in N, f (x) = \exp^{n} f (\ln^{n} x) (x > 0)$

証明略。定理5(2)より。

行き詰った

以上まで頑張って、どうしようもなくなってしまたので、
SearchOnMathで数式を検索してみました( 検索結果 )

結論として、このような $f (x)$ は閉じた形では表せず、
また解析的な $f (x)$ は存在しないようです。
そして、詳細な証明や結論は今の私にはわかりませんでした。

攻略のヒント

しかし、ここで終わってしまうともったいないので、
後続の方々や未来の私のために、現時点でわかることをまとめておきます。

注意: 用語の和訳についてはそれっぽくつけてあるだけなので、本来は別の表記があるかもしれません。

分野について

まず、このように合成してある関数 $g$ になる関数 $f$ を、 $g$ の関数的平方根(functional square root)や半反復(half iterate)よ呼ぶそうです。

また、特に $f (f (x)) = e^{x}$ を満たすものを半指数関数(half exponential)と呼ぶようです。

半指数関数は、ドイツの数学者ヘルムート・クネーザー(Hellmuth Kneser)によって1950年に研究されました。
論文はネット上で見られますが、→ リンク
ドイツ語で書かれています。

ちなみにクネーザーの博士課程での指導教員はダフィット・ヒルベルトらしいです。

半指数関数について

区間的な構成がWikipediaで紹介されていました。( リンク )
$f (x) = {\begin{cases} g (x) & if x \in [0, A], \\ \exp g^{- 1} (x) & if x \in (A, 1], \\ \exp f (\ln x) & if x \in (1, \infty), \\ \ln f (\exp x) & if x \in (- \infty, 0) . \end{cases}$

また、StackExchangeの記事( リンク1 や、リンク2 )で半指数関数についての議論がされていました。
リンク1に実解析的な方法による実際の構成など、特に詳しく議論されています。
まだ理解してはいないのですが、 $R$ ではなく $C$ の範囲での議論が必要なようです。

おわりに

今回の疑問は私にはまだ早かったようです……
が、いずれまたリベンジしたいと思います。

それではまた

参考文献

[1]

Hellmuth Kneser, Reelle analytische Lösungen der Gleichung φ(φ(x)) = ex und verwandter Funktionalgleichungen, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1950, 56-67

投稿日：2月1日

更新日：2月1日