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【備忘録／用語集】極と有理型関数

極と有理型関数

$D$ を $C$ 内の領域， $E$ を $D$ の閉集合とし， $D ∖ E$ がまた $C$ 内の領域になっているとする。
$f : D ∖ E \to C$ を $D ∖ E$ 上の正則関数とし， $z_{0}$ を $E$ の孤立点とする。
このとき， $z_{0}$ を含むような $D$ のある開集合 $U$ が存在して， $U \cap E = {z_{0}}$ , すなわち， $U ∖ {z_{0}} \subset D ∖ E$ が成り立つ。

上の状況で，以下の２条件は同値である。

$lim_{z \to z_{0}} | f (z) | = + \infty$
$z_{0}$ を含むような $U$ のある開集合 $V$ と $V$ 上の正則関数 $h : V \to C$ , および正の整数 $k$ が存在し， $V ∖ {z_{0}}$ 上
$f (z) = \frac{1}{(z - z_{0})^{k}} h (z), h (z_{0}) \neq 0$
が成り立つ。

$lim_{z \to z_{0}} | f (z) | = + \infty$ とする。

必要であれば $U$ を小さく取り替えることにより， $U ∖ {z_{0}}$ 上 $f (z) \neq 0$ であるとしてよい。

$g (z) = 1 / f (z)$ $(z \in U ∖ {z_{0}})$ と置き， $g (z_{0}) = 0$ と定めることで， $U$ 上連続かつ $U ∖ {z_{0}}$ 上正則な関数 $g : U \to C$ が得られるが，これは $U$ 上正則である。

したがって， $z_{0}$ を含むような $U$ のある開集合 $V$ と $V$ 上の正則関数 $\tilde{h} : V \to C$ , および正の整数 $k$ が存在し， $V$ 上
$g (z) = (z - z_{0})^{k} \tilde{h} (z), \tilde{h} (z_{0}) \neq 0$
が成り立つ。

必要であれば $V$ を小さく取り替えることにより， $V$ 上 $\tilde{h} (z) \neq 0$ であるとしてよい。

このとき， $V ∖ {z_{0}}$ 上
$f (z) = \frac{1}{(z - z_{0})^{k}} \frac{1}{\tilde{h} (z)}, \frac{1}{\tilde{h} (z_{0})} \neq 0$
が成り立つ。

（極とその位数／有理型関数）

前命題の同値な条件が満たされるとき， $z_{0}$ は $f$ の極であるという。
（条件の中に現れる正の整数 $k$ を極の位数という。）
$E$ を $D$ 内に集積点を持たないような $D$ の部分集合とする。
$D ∖ E$ 上の正則関数 $f : D ∖ E \to C$ が $E$ の各点を極に持つとき，組 $(f, E)$ を $D$ 上の有理型関数という。

（正則関数の商）

$f, g : D \to C$ を $D$ 上の正則関数とし， $E$ を $g$ の零点全体からなる集合とする。

このとき， $f$ を $g$ で割った商 $h = f / g$ は有理型関数として次のように定義される。
（ $f = 0$ については $f / g = 0$ と約束する。）

まず $D ∖ E$ 上 $h (z) = f (z) / g (z)$ と定める。
次に $z_{0} \in E$ とする。
- もし $f (z_{0}) \neq 0$ ならば $lim_{z \to z_{0}} | h (z) | = + \infty$ である。
  （このような $z_{0}$ は $h$ の極となる。）
- $f (z_{0}) = 0$ とし， $z_{0}$ の近くで
  $f (z) = (z - z_{0})^{k} \tilde{f} (z), \tilde{f} (z) \neq 0$
  $g (z) = (z - z_{0})^{l} \tilde{g} (z), \tilde{g} (z) \neq 0$
  と書けているとする。
  - $k \geq l$ の場合。
    このとき， $h (z_{0}) = lim_{z \to z_{0}} h (z)$ と定める。
    $h$ は $z_{0}$ で連続となり，その周りで正則なので， $z_{0}$ でも正則である。
  - $l > k$ の場合。
    このとき， $lim_{z \to z_{0}} | h (z) | = + \infty$ である。
    （このような $z_{0}$ は $h$ の極となる。）

有理型関数同士の積や商も，上の例と同様にして定義される。

$C$ 内の領域 $D$ 上の有理型関数は２つの正則関数の商である。

$(h, E)$ を $D$ 上の有理型関数とする。

極 $z \in E$ の位数を $k_{z}$ としたとき， $z$ たちを $k_{z}$ 位の零点に持つような正則関数 $g : D \to C$ が存在する。（ワイエルシュトラスの定理）

$f = g h$ と置くと， $f$ は $D$ 上正則であり， $h = f / g$ が成り立つ。

付録

$D$ を $C$ 内の領域とする。
$D$ の部分集合 $E$ が $D$ 内に集積点を持たないとき， $D ∖ E$ もまた $C$ 内の領域である。

$E$ が $D$ 内に集積点を持たないとき， $E$ は $D$ の閉集合である。

したがって， $D ∖ E$ は $D$ の開集合であり， $C$ の開集合でもある。

$z_{0}, z_{1} \in D ∖ E$ , $z_{0} \neq z_{1}$ とする。

$D$ は弧連結なので，ある同相写像
$γ : [0, 1] \to C = γ ([0, 1]) \subset D$
が存在して $γ (0) = z_{0}$ , $γ (1) = z_{1}$ となる。

一方， $E$ は $D$ の離散部分集合なので，任意の $z \in E$ に対し， $z$ を含むような $D$ のある開集合 $U_{z}$ が存在して $U_{z} \cap E = {z}$ となる。

このとき，
$U = {U_{z} \cap C \in P (C) ∣ z \in E} \cup {(D ∖ E) \cap C}$
はコンパクト空間 $C$ の開被覆となる。

$V$ を $U$ の有限部分被覆とすると， $C \cap E$ から $V$ への単射が構成できる。
（ $z \in C \cap E$ に対し， $z$ を含むような $V$ の元を対応させればよい。）

したがって， $C \cap E$ は有限集合である。

$γ$ の経路を変更して $1$ 点 $z \in C \cap E$ を回避することは容易なので，そのような操作を有限回繰り返して， $z_{0}$ から $z_{1}$ を $D ∖ E$ 内で結ぶことができる。

これは $D ∖ E$ が弧状連結であるということに他ならない。

（ワイエルシュトラス）

${z_{n}}_{n = 1}^{N}$ $(N \leq + \infty)$ を $D$ の相異なる点からなる点列とし， $z_{n}$ たち全体からなる集合が $D$ 内に集積点を持たないとする。
$k_{n}$ たちを正の整数とする。
このとき，以下の条件を満たすような $D$ 上の正則関数 $h : D \to C$ が存在する。

各 $z_{n}$ に対し， $z_{n}$ を含むような $D$ のある開集合 $U$ と $U$ 上の正則関数 $g : U \to C$ が存在し， $U$ 上
$h (z) = (z - z_{n})^{k_{n}} g (z), g (z_{0}) \neq 0$
が成り立つ。
$z_{n}$ 以外の点 $z \in D$ では $h (z) \neq 0$ である。