DをC内の領域,EをDの閉集合とし,D∖EがまたC内の領域になっているとする。f:D∖E→CをD∖E上の正則関数とし,z0をEの孤立点とする。このとき,z0を含むようなDのある開集合Uが存在して,U∩E={z0}, すなわち,U∖{z0}⊂D∖Eが成り立つ。
上の状況で,以下の2条件は同値である。
limz→z0|f(z)|=+∞とする。
必要であればUを小さく取り替えることにより,U∖{z0}上f(z)≠0であるとしてよい。
g(z)=1/f(z) (z∈U∖{z0})と置き,g(z0)=0と定めることで,U上連続かつU∖{z0}上正則な関数g:U→Cが得られるが,これはU上正則である。
したがって,z0を含むようなUのある開集合VとV上の正則関数h~:V→C, および正の整数kが存在し,V上g(z)=(z−z0)kh~(z), h~(z0)≠0が成り立つ。
必要であればVを小さく取り替えることにより,V上h~(z)≠0であるとしてよい。
このとき,V∖{z0}上f(z)=1(z−z0)k1h~(z), 1h~(z0)≠0が成り立つ。
f,g:D→CをD上の正則関数とし,Eをgの零点全体からなる集合とする。
このとき,fをgで割った商h=f/gは有理型関数として次のように定義される。(f=0についてはf/g=0と約束する。)
有理型関数同士の積や商も,上の例と同様にして定義される。
C内の領域D上の有理型関数は2つの正則関数の商である。
(h,E)をD上の有理型関数とする。
極z∈Eの位数をkzとしたとき,zたちをkz位の零点に持つような正則関数g:D→Cが存在する。(ワイエルシュトラスの定理)
f=ghと置くと,fはD上正則であり,h=f/gが成り立つ。
DをC内の領域とする。Dの部分集合EがD内に集積点を持たないとき,D∖EもまたC内の領域である。
EがD内に集積点を持たないとき,EはDの閉集合である。
したがって,D∖EはDの開集合であり,Cの開集合でもある。
z0,z1∈D∖E, z0≠z1とする。
Dは弧連結なので,ある同相写像γ:[0,1]→C=γ([0,1])⊂Dが存在してγ(0)=z0, γ(1)=z1となる。
一方,EはDの離散部分集合なので,任意のz∈Eに対し,zを含むようなDのある開集合Uzが存在してUz∩E={z}となる。
このとき,U={Uz∩C∈P(C)∣z∈E}∪{(D∖E)∩C}はコンパクト空間Cの開被覆となる。
VをUの有限部分被覆とすると,C∩EからVへの単射が構成できる。(z∈C∩Eに対し,zを含むようなVの元を対応させればよい。)
したがって,C∩Eは有限集合である。
γの経路を変更して1点z∈C∩Eを回避することは容易なので,そのような操作を有限回繰り返して,z0からz1をD∖E内で結ぶことができる。
これはD∖Eが弧状連結であるということに他ならない。
{zn}n=1N (N≤+∞)をDの相異なる点からなる点列とし,znたち全体からなる集合がD内に集積点を持たないとする。knたちを正の整数とする。このとき,以下の条件を満たすようなD上の正則関数h:D→Cが存在する。
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