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大学数学基礎解説
文献あり

【備忘録/用語集】極と有理型関数

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極と有理型関数

DC内の領域,EDの閉集合とし,DEがまたC内の領域になっているとする。
f:DECDE上の正則関数とし,z0Eの孤立点とする。
このとき,z0を含むようなDのある開集合Uが存在して,UE={z0}, すなわち,U{z0}DEが成り立つ。

上の状況で,以下の2条件は同値である。

  • limzz0|f(z)|=+
  • z0を含むようなUのある開集合VV上の正則関数h:VC, および正の整数kが存在し,V{z0}
    f(z)=1(zz0)kh(z)h(z0)0
    が成り立つ。

limzz0|f(z)|=+とする。

必要であればUを小さく取り替えることにより,U{z0}f(z)0であるとしてよい。

g(z)=1/f(z) (zU{z0})と置き,g(z0)=0と定めることで,U上連続かつU{z0}上正則な関数g:UCが得られるが,これはU上正則である。

したがって,z0を含むようなUのある開集合VV上の正則関数h~:VC, および正の整数kが存在し,V
g(z)=(zz0)kh~(z)h~(z0)0
が成り立つ。

必要であればVを小さく取り替えることにより,Vh~(z)0であるとしてよい。

このとき,V{z0}
f(z)=1(zz0)k1h~(z)1h~(z0)0
が成り立つ。

(極とその位数/有理型関数)
  • 前命題の同値な条件が満たされるとき,z0fの極であるという。
    (条件の中に現れる正の整数kを極の位数という。)
  • ED内に集積点を持たないようなDの部分集合とする。
    DE上の正則関数f:DECEの各点を極に持つとき,組(f,E)D上の有理型関数という。
(正則関数の商)

f,g:DCD上の正則関数とし,Egの零点全体からなる集合とする。

このとき,fgで割った商h=f/gは有理型関数として次のように定義される。
f=0についてはf/g=0と約束する。)

  • まずDEh(z)=f(z)/g(z)と定める。
  • 次にz0Eとする。
    • もしf(z0)0ならばlimzz0|h(z)|=+である。
      (このようなz0hの極となる。)
    • f(z0)=0とし,z0の近くで
      f(z)=(zz0)kf~(z)f~(z)0
      g(z)=(zz0)lg~(z)g~(z)0
      と書けているとする。
      • klの場合。
        このとき,h(z0)=limzz0h(z)と定める。
        hz0で連続となり,その周りで正則なので,z0でも正則である。
      • l>kの場合。
        このとき,limzz0|h(z)|=+である。
        (このようなz0hの極となる。)

有理型関数同士の積や商も,上の例と同様にして定義される。

C内の領域D上の有理型関数は2つの正則関数の商である。

(h,E)D上の有理型関数とする。

zEの位数をkzとしたとき,zたちをkz位の零点に持つような正則関数g:DCが存在する。(ワイエルシュトラスの定理)

f=ghと置くと,fD上正則であり,h=f/gが成り立つ。

付録

DC内の領域とする。
Dの部分集合ED内に集積点を持たないとき,DEもまたC内の領域である。

ED内に集積点を持たないとき,EDの閉集合である。

したがって,DEDの開集合であり,Cの開集合でもある。

z0,z1DE, z0z1とする。

Dは弧連結なので,ある同相写像
γ:[0,1]C=γ([0,1])D
が存在してγ(0)=z0, γ(1)=z1となる。

一方,EDの離散部分集合なので,任意のzEに対し,zを含むようなDのある開集合Uzが存在してUzE={z}となる。

このとき,
U={UzCP(C)zE}{(DE)C}
はコンパクト空間Cの開被覆となる。

VUの有限部分被覆とすると,CEからVへの単射が構成できる。
zCEに対し,zを含むようなVの元を対応させればよい。)

したがって,CEは有限集合である。

γの経路を変更して1zCEを回避することは容易なので,そのような操作を有限回繰り返して,z0からz1DE内で結ぶことができる。

これはDEが弧状連結であるということに他ならない。

(ワイエルシュトラス)

{zn}n=1N (N+)Dの相異なる点からなる点列とし,znたち全体からなる集合がD内に集積点を持たないとする。
knたちを正の整数とする。
このとき,以下の条件を満たすようなD上の正則関数h:DCが存在する。

  • znに対し,znを含むようなDのある開集合UU上の正則関数g:UCが存在し,U
    h(z)=(zzn)kng(z)g(z0)0
    が成り立つ。
  • zn以外の点zDではh(z)0である。

参考文献

[1]
高橋礼司, 複素解析, 基礎数学, 東京大学出版会, 1990
[2]
野口潤次郎, 複素解析概論, 数学選書, 裳華房, 1993
投稿日:202429
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  2. 付録
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