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【備忘録／用語集】極と有理型関数

極と有理型関数

$D$を$\mathbb{C}$内の領域，$E$を$D$の閉集合とし，$D \setminus E$がまた$\mathbb{C}$内の領域になっているとする。
$f \colon D \setminus E \to \mathbb{C}$を$D \setminus E$上の正則関数とし，$z_0$を$E$の孤立点とする。
このとき，$z_0$を含むような$D$のある開集合$U$が存在して，$U \cap E = \{z_0\}$, すなわち，$U \setminus \{z_0\} \subset D \setminus E$が成り立つ。

上の状況で，以下の２条件は同値である。

$\lim_{z \to z_0} |f(z)| = + \infty$
$z_0$を含むような$U$のある開集合$V$と$V$上の正則関数$h \colon V \to \mathbb{C}$, および正の整数$k$が存在し，$V \setminus \{z_0\}$上
$$ f(z) = \frac{1}{(z - z_0)^k} h(z) \text{, } h(z_0) \neq 0$$
が成り立つ。

$\lim_{z \to z_0} |f(z)| = + \infty$とする。

必要であれば$U$を小さく取り替えることにより，$U \setminus \{z_0\}$上$f(z) \neq 0$であるとしてよい。

$g(z) = 1/f(z)$ $(z \in U \setminus \{z_0\})$と置き，$g(z_0) = 0$と定めることで，$U$上連続かつ$U \setminus \{z_0\}$上正則な関数$g \colon U \to \mathbb{C}$が得られるが，これは$U$上正則である。

したがって，$z_0$を含むような$U$のある開集合$V$と$V$上の正則関数$\tilde{h} \colon V \to \mathbb{C}$, および正の整数$k$が存在し，$V$上
$$ g(z) = (z - z_0)^k \tilde{h}(z) \text{, } \tilde{h}(z_0) \neq 0$$
が成り立つ。

必要であれば$V$を小さく取り替えることにより，$V$上$\tilde{h}(z) \neq 0$であるとしてよい。

このとき，$V \setminus \{z_0\}$上
$$ f(z) = \frac{1}{(z - z_0)^k} \frac{1}{\tilde{h}(z)} \text{, } \frac{1}{\tilde{h}(z_0)} \neq 0 $$
が成り立つ。

（極とその位数／有理型関数）

前命題の同値な条件が満たされるとき，$z_0$は$f$の極であるという。
（条件の中に現れる正の整数$k$を極の位数という。）
$E$を$D$内に集積点を持たないような$D$の部分集合とする。
$D \setminus E$上の正則関数$f \colon D \setminus E \to \mathbb{C}$が$E$の各点を極に持つとき，組$(f, E)$を$D$上の有理型関数という。

（正則関数の商）

$f, g \colon D \to \mathbb{C}$を$D$上の正則関数とし，$E$を$g$の零点全体からなる集合とする。

このとき，$f$を$g$で割った商$h = f / g$は有理型関数として次のように定義される。
（$f = 0$については$f/g = 0$と約束する。）

まず$D \setminus E$上$h(z) = f(z)/g(z)$と定める。
次に$z_0 \in E$とする。
- もし$f(z_0) \neq 0$ならば$\lim_{z \to z_0} |h(z)| = + \infty$である。
  （このような$z_0$は$h$の極となる。）
- $f(z_0) = 0$とし，$z_0$の近くで
  $$ f(z) = (z - z_0)^k \tilde{f} (z) \text{, } \tilde{f} (z) \neq 0$$
  $$ g(z) = (z - z_0)^l \tilde{g} (z) \text{, } \tilde{g} (z) \neq 0$$
  と書けているとする。
  - $k \geq l$の場合。
    このとき，$h (z_0) = \lim_{z \to z_0} h (z)$と定める。
    $h$は$z_0$で連続となり，その周りで正則なので，$z_0$でも正則である。
  - $l > k$の場合。
    このとき，$\lim_{z \to z_0} |h(z)| = + \infty$である。
    （このような$z_0$は$h$の極となる。）

有理型関数同士の積や商も，上の例と同様にして定義される。

$\mathbb{C}$内の領域$D$上の有理型関数は２つの正則関数の商である。

$(h, E)$を$D$上の有理型関数とする。

極$z \in E$の位数を$k_z$としたとき，$z$たちを$k_z$位の零点に持つような正則関数$g \colon D \to \mathbb{C}$が存在する。（ワイエルシュトラスの定理）

$f = g h$と置くと，$f$は$D$上正則であり，$h = f/g$が成り立つ。

付録

$D$を$\mathbb{C}$内の領域とする。
$D$の部分集合$E$が$D$内に集積点を持たないとき，$D \setminus E$もまた$\mathbb{C}$内の領域である。

$E$が$D$内に集積点を持たないとき，$E$は$D$の閉集合である。

したがって，$D \setminus E$は$D$の開集合であり，$\mathbb{C}$の開集合でもある。

$z_0, z_1 \in D \setminus E$, $z_0 \neq z_1$とする。

$D$は弧連結なので，ある同相写像
$$ \gamma \colon [0, 1] \to C = \gamma ([0, 1]) \subset D$$
が存在して$\gamma (0) = z_0$, $\gamma (1) = z_1$となる。

一方，$E$は$D$の離散部分集合なので，任意の$z \in E$に対し，$z$を含むような$D$のある開集合$U_z$が存在して$U_z \cap E = \{z\}$となる。

このとき，
$$ \mathcal{U} = \{ U_z \cap C \in \mathcal{P} (C) \mid z \in E \} \cup \{ (D \setminus E) \cap C \} $$
はコンパクト空間$C$の開被覆となる。

$\mathcal{V}$を$\mathcal{U}$の有限部分被覆とすると，$C \cap E$から$\mathcal{V}$への単射が構成できる。
（$z \in C \cap E$に対し，$z$を含むような$\mathcal{V}$の元を対応させればよい。）

したがって，$C \cap E$は有限集合である。

$\gamma$の経路を変更して$1$点$z \in C \cap E$を回避することは容易なので，そのような操作を有限回繰り返して，$z_0$から$z_1$を$D \setminus E$内で結ぶことができる。

これは$D \setminus E$が弧状連結であるということに他ならない。

（ワイエルシュトラス）

$\{z_n\}_{n=1}^N$ $(N \leq + \infty)$を$D$の相異なる点からなる点列とし，$z_n$たち全体からなる集合が$D$内に集積点を持たないとする。
$k_n$たちを正の整数とする。
このとき，以下の条件を満たすような$D$上の正則関数$h \colon D \to \mathbb{C}$が存在する。

各$z_n$に対し，$z_n$を含むような$D$のある開集合$U$と$U$上の正則関数$g \colon U \to \mathbb{C}$が存在し，$U$上
$$ h(z) = (z - z_n)^{k_n} g(z) \text{, } g(z_0) \neq 0$$
が成り立つ。
$z_n$以外の点$z \in D$では$h(z) \neq 0$である。