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Solution of Problem 1

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Please solve Problem 1 .

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First, we discuss A(k)=B(k). One sets y=1x, dy=dxx2=y2dx and dx=dyy2, then,
A(k)=0x2+kx+1x4+1tan1(1x)dx=01y2+ky+11y4+1tan1y(dyy2)=01+ky+y21+y4tan1ydy=B(k).

is derived. Moreover, using tan1a+tan11a=π2, we summarize A(k)+B(k) as

A(k)+B(k)=0x2+kx+1x4+1{tan1(1x)+tan1(x)}dx=π20x2+kx+1x4+1dx.

Thus,
A(k)=A(k)+B(k)2=π40x2+kx+1x4+1dx,
is obtained. In order to integrate, we can factorize x4+1 as x4+2x2+12x2 =(x2+2x+1)(x22x+1), then,
x2+kx+1x4+1=ax2+2x+1+bx22x+1=a(x22x+1)+b(x2+2x+1)(x22x+1)(x2+2x+1)=(a+b)(x2+1)+2(ba)xx4+1.
From a+b=1,2(ba)=k, we get
a=12k22,b=12+k22.

Therefore,
0x2+kx+1x4+1dx=(12k22)0dxx2+2x+1+(12+k22)0dxx22x+1,
is calculated. We use x+12=12tanθ and dx=dθ2cos2θ so as to integrate, the first term is calculated as
0dxx2+2x+1=0dx(x+12)2+12=π4π2dθ2cos2θ2tan2θ+1=22π4π2dθ=22(π2π4)=π22.
Next, we use x12=12tanθ and dx=dθ2cos2θ in order to integrate, the second term is evaluated as
0dxx22x+1=0dx(x12)2+12=π4π2dθ2cos2θ2tan2θ+1=22π4π2dθ=22(π2(π4))=3π22.
Therefore, the final result is
A(k)=π40x2+kx+1x4+1dx=π4(12k22)0dxx2+2x+1+π4(12+k22)0dxx22x+1=π4(12k22)π22+π4(12+k22)3π22=π4π22(12+32)+π4π22(122+322)k=π228+π216k,
where B(k)=π228+π216k is also derived.

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投稿日:5月31日
更新日:5月31日
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投稿者

那覇にある塾.2024年度の合格実績はロンドン大(UCL),エディンバラ大,マンチェスター大,ブリストル大,国際福祉医療大,沖縄職業能力開発大,沖尚中,開邦高です.塾生の1人は理三の合格点に3点足りず,涙を飲む.2023年の卒塾生は東大推薦合格したが,理三の合格点にも達していた.

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