層理論2：層化
今回は，sheafificationを扱う．presheafは局所データを持っているが，局所データを貼り合わせる能力を持たないことがある．sheafificationは，presheafを最も自然な方法でsheafに直す操作である．
以下，$X$を位相空間，$\mathcal{F}$を$X$上のpresheafとする．
$\mathcal{F}$のsheafificationとは，sheaf $\mathcal{F}^{\#}$とpresheafのmorphism
\begin{equation*}
a:\mathcal{F}\longrightarrow\mathcal{F}^{\#}
\end{equation*}
であって，任意のsheaf $\mathcal{G}$に対して，合成
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{{\rm Sh}(X)}(\mathcal{F}^{\#},\mathcal{G})
\longrightarrow
{\rm Hom}_{{\rm PSh}(X)}(\mathcal{F},\mathcal{G});\quad \widetilde{\varphi}\mapsto \widetilde{\varphi}\circ a
\end{equation*}
が全単射になるものをいう．
ここで右辺では，$\mathcal{G}$をpresheafとみなしている．つまり，$\mathcal{F}\to\mathcal{G}$というpresheafのmorphismは，ただ一つのsheafのmorphism $\mathcal{F}^{\#}\to\mathcal{G}$を経由する．図式で書くと次の形である．
\begin{equation*}
\xymatrix{
\mathcal{F}\ar[r]^-{a}\ar[dr]_-{\varphi} &
\mathcal{F}^{\#}\ar@{-->}[d]^-{\widetilde{\varphi}}\\
& \mathcal{G}
}
\end{equation*}
圏論的には，包含関手
\begin{equation*}
{\rm Sh}(X)\hookrightarrow {\rm PSh}(X)
\end{equation*}
の左随伴がsheafificationである．
sheafificationは同型を除いて一意である．
標準的な議論で分かる．
具体的な構成はstalkを使うと見通しがよい．
開集合$U\subset X$に対して，$\mathcal{F}^{\#}(U)$を次の条件を満たす族
\begin{equation*}
(s_x)_{x\in U}\in\prod_{x\in U}\mathcal{F}_x
\end{equation*}
全体の集合として定める．(ここで分かりにくいが$(s_x)_x$は$s\in\mathcal{F}(U)$のgerm$s_x\in \mathcal{F}_x$を並べたものではなく添字の$_x$である．)
条件は，任意の$x\in U$について，ある開近傍$V\subset U$，$x\in V$とあるsection $t\in\mathcal{F}(V)$が存在して，すべての$y\in V$について$s_y=t_y$
となることである．
各点に対して，その近くではあるsection$t$から定まるということ．
restriction mapは，族$(s_x)_{x\in U}$を部分開集合$V\subset U$上の部分族$(s_x)_{x\in V}$へ送ることで定まる．
上の構成で得られる$\mathcal{F}^{\#}$はsheafである．
開被覆$U=\bigcup_i U_i$と，互いにcompatibleなsection
\begin{equation*}
s_i\in\mathcal{F}^{\#}(U_i)
\end{equation*}
が与えられたとする．各$s_i$は$U_i$の点ごとのgermの族である．共通部分で一致するので，点$x\in U$に対して$x\in U_i$を選び，$s_x$を$(s_i)_x$で定めると，選び方によらない．
こうして得られた族$(s_x)_{x\in U}$は局所的にはどれかの$s_i$で表され，さらに$s_i$は局所的に$\mathcal{F}$のsectionで表される．よって$(s_x)$は$\mathcal{F}^{\#}(U)$の元である．一意性は点ごとの族として明らかである．
自然なmorphism $a:\mathcal{F}\to\mathcal{F}^{\#}$がある．これは各$U$で
\begin{equation*}
s\longmapsto(s_x)_{x\in U}
\end{equation*}
により定義される．
各点$x\in X$について，$a$はstalkの同型
\begin{equation*}
\mathcal{F}_x\stackrel{\cong}{\longrightarrow}(\mathcal{F}^{\#})_x
\end{equation*}
を誘導する．
$\mathcal{F}^{\#}$のsectionは，定義により局所的には$\mathcal{F}$のsectionから来ている．したがって点$x$のgermを見ると，$\mathcal{F}^{\#}$のgermはある$\mathcal{F}$のsectionのgermで表される．これが全射性である．
単射性もgermの同値関係から従う．二つの$\mathcal{F}$のsectionが$\mathcal{F}^{\#}$のstalkで同じなら，十分小さい近傍上で点ごとのgermの族として一致する．するとさらに小さい近傍で元のsectionが一致する．よって$\mathcal{F}_x$で同じである．
上で構成した$\mathcal{F}^{\#}$はsheafificationの普遍性を満たす．
$\varphi:\mathcal{F}\to\mathcal{G}$をsheaf $\mathcal{G}$へのpresheafのmorphismとする．$\mathcal{F}^{\#}(U)$の元$s=(s_x)_{x\in U}$を考える．各点の近くで$s$はある$t\in\mathcal{F}(V)$から来るので，$\varphi_V(t)\in\mathcal{G}(V)$を取れる．
この局所sectionたちは，共通部分上で同じgermを持つ．$\mathcal{G}$はsheafなので，十分小さい近傍で一致し，したがって貼り合わさって$\mathcal{G}(U)$のsectionを与える．これにより$\widetilde{\varphi}:\mathcal{F}^{\#}\to\mathcal{G}$が定まる．
$\widetilde{\varphi}\circ a=\varphi$は構成から従う．一意性は，$\mathcal{F}^{\#}$のsectionが局所的に$\mathcal{F}$から来ており，sheafのmorphismは局所的に決まることから従う．
$a:\mathcal{F}\to\mathcal{F}^{\#}$について次が成り立つ．
(i) $\mathcal{F}$がsheafなら，$a$は同型である．
(ii) $\mathcal{F}$がseparatedであることと，$a$がmonoであることは同値である．
(i) $\mathcal{F}$がsheafなら，任意の$\mathcal{F}^{\#}$のsectionは局所的に$\mathcal{F}$のsectionで表される．それらはoverlap上で同じgermをもつので，さらに小さい開被覆で一致する．$\mathcal{F}$のsheaf条件により，これらは一意に貼り合わさる．よって$\mathcal{F}(U)\to\mathcal{F}^{\#}(U)$は全単射である．
(ii) $a_U(s)=a_U(t)$とは，すべての$x\in U$で$s_x=t_x$であることを意味する．これは，$s$と$t$が点の近くで局所的に一致することと同じである．したがって$a$がmonoであることは，sectionが局所的一致から一意に決まること，すなわちseparated性である．
集合$A$に対するconstant presheaf $A_p$のsheafificationを$\underline{A}$と書く．$\underline{A}(U)$は，直感的？には$U$上で局所的に定数な$A$値関数全体である．
特に$U$が連結なら，$\underline{A}(U)$はほぼ$A$と同じように振る舞う．一方，$U$が複数の連結成分を持つなら，各成分ごとに異なる$A$の元を選ぶsectionが現れる．
presheafがAbel群，環，$\mathcal{O}$-加群などの代数構造を持つ場合も，sheafificationに同じ種類の構造が入る．演算はstalk上で定め，局所表示によりsheafのsectionへ戻す．
このため，abelian presheafのsheafificationはabelian sheafになり，環のpresheafのsheafificationは環のsheafになる．
