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雪江整数

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解答としていますが,まだmathlogでの操作に慣れていないため少しずつやって行きます.問題を適当に解いて行きますが、順番が適当なのは後で修正しようと思います。とりあえずお試しで!(割と定理とかは既にあるやつで使えるみたいなので適当に使ってみようと思います)

合同方程式

x4x3+5x+10mod3が解を持つ条件

x4x3+5x+10mod3
フェルマーの小定理を利用すると
x2+x+10
x20,1より0の時は左辺1より不適で,
1の時はx+2になるのでx1(x1の時も左辺1より不適)

x2+x+10x22x+1(x1)2 0 変形して
も良いですね(コメントでいただいた解答です)

  1. 5x7mod12.
    両辺を7倍すると,
    x1となるのでx1
  2. 7x4mod9.
    両辺を4倍すると,
    x16となるのでx7
  3. 14x5mod35.
    mod5,mod7に分けて考える.
    mod7で左辺が0になるので05が合同になるが mod5では一致しないので不適.

7が3つの平方数で表せるか?

7はそれなりに小さいので
a2+b2+c2と分解できるとすると全て2以上だったらそのもそも12以上になるので少なくとも1つは1になります.
よって,a=1とすると6=b2+c2とする.
同様の議論から22+22=8だからどちらかが1になりますが
5=c2になるので満たすものはないとわかります.

これくらい小さかったら愚直にやれば良いですね!

1.5.6

2n+1が素数ならn2の冪である

(対偶)

いきなり素数を文字で置いてみるとなかなか次の手が決まらない気がします.
対偶を考えてみましょう.

1.4.3(連続する整数)

連続するn個の整数はn!の倍数である

問題自体は偶数の時と6の倍数の時ですが一般的な証明を書きたいと思います.

二項係数の利用

nCk=n!(nk)!k!

問題の順番が適当ですので後で修正する予定です.
議論等に誤りがある場合は指摘していただけると助かります.

問題の順番が適当ですので後で修正する予定です.
議論等に誤りがある場合は指摘していただけると助かります.

投稿日:2024926
更新日:2024926
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