雪江整数

解答としていますが,まだmathlogでの操作に慣れていないため少しずつやって行きます.問題を適当に解いて行きますが、順番が適当なのは後で修正しようと思います。とりあえずお試しで！(割と定理とかは既にあるやつで使えるみたいなので適当に使ってみようと思います)

合同方程式

$x^{4} - x^{3} + 5 x + 1 \equiv 0 \mod 3$ が解を持つ条件

$x^{4} - x^{3} + 5 x + 1 \equiv 0 \mod 3$ で
フェルマーの小定理を利用すると
$x^{2} + x + 1 \equiv 0$ で
$x^{2} \equiv 0, 1$ より $0$ の時は左辺 $1$ より不適で,
$1$ の時は $x + 2$ になるので $x \equiv 1$ ( $x$ が $- 1$ の時も左辺 $1$ より不適)

$x^{2} + x + 1 \equiv 0$ は $x^{2} - 2 x + 1 \equiv (x - 1)^{2}$ $\equiv 0$ 変形して
も良いですね(コメントでいただいた解答です)

$5 x \equiv 7 \mod 12$ .
両辺を $7$ 倍すると,
$- x \equiv 1$ となるので $x \equiv - 1$
$7 x \equiv 4 \mod 9$ .
両辺を $4$ 倍すると,
$x \equiv 16$ となるので $x \equiv 7$
$14 x \equiv 5 \mod 35$ .
$\mod 5, \mod 7$ に分けて考える.
$\mod 7$ で左辺が $0$ になるので $0$ と $5$ が合同になるが $\mod 5$ では一致しないので不適.

7が3つの平方数で表せるか?

7はそれなりに小さいので
$a^{2} + b^{2} + c^{2}$ と分解できるとすると全て $2$ 以上だったらそのもそも12以上になるので少なくとも1つは $1$ になります.
よって, $a = 1$ とすると $6 = b^{2} + c^{2}$ とする.
同様の議論から $2^{2} + 2^{2} = 8$ だからどちらかが1になりますが
$5 = c^{2}$ になるので満たすものはないとわかります.