数学会報誌10月号

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ゆーてるの記事

OMC攻略③　複素数
これを読めばOMCの複素数の問題で無双できます。

mkの記事

mkです
今回は私が最近学んだことをなるべくわかりやすく共有したいと思います。
次の問題を考えてください

${ n^{4} +n^{2} +1と(n+1)^{4} +(n+1)^{2} +1}$の最大の素因数が等しくなるような自然数nは無限個あるか

\begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \\ ↓ \\ ↓ \\ ↓ \\ ↓ \\ ↓ \\ ↓ \\ ↓ \\ ↓ \\ ↓ \\ ↓ \\ ↓ \\ ↓ \\ (解説?) \\それぞれ {\displaystyle \left( n^{2} +n+1\right)\left( n^{2} -n+1\right)},{\displaystyle \left( n^{2} +n+1\right)\left( n^{2} +3n+3\right)} \\{\displaystyle a_{n} =n^{2} +n+1}と置くと、{\displaystyle a_{n} \times a_{n-1}},{\displaystyle a_{n} \times a_{n+1}}ですね \\ a_{n}の最大の素因数を\displaystyle p_{n}と置くと \\ max( p_{n} ,p_{n-1}) =max( p_{n} ,p_{n+1})となるnが無限個あるかを示せばいいです \\ p_{n-1} \leq p_{n} \geq p_{n+1}となる\displaystyle p_{n}が無限個あれば嬉しいですね \\ここで、\displaystyle n^{4} +n^{2} +1=a_{n^{2}}です \\これを使うと\displaystyle p_{n^{2}} =max( p_{n} ,p_{n-1})となります \\全ての\displaystyle p_{n}が等しいことはないので\displaystyle p_{n^{2}}と\displaystyle p_{n}または\displaystyle p_{n+1}\の間に山か谷があります \\上がっているところを\displaystyle p_{m}としてあげると\displaystyle p_{m-1} \leq p_{m} \geq p_{m+1}となり無限個ありますね \\よって証明完了です \\ \\この問題で嬉しかったことは\displaystyle a_{n^{2}} =a_{n} \times a_{n-1}が成り立ったことですね \\これがわかったので\displaystyle p_{n}は十分先で同じ値を取ることがわかって示せました \\ f( n) =n^{2} +an+bにおいてこれを一般化します\displaystyle ( a,b,n\in \mathbb{N}) \\ f( n) f( n+1) =f\left( n^{2} +On+O\right)の形になります \\右辺は\displaystyle f( n) ,f( n+1)の倍数です \\ここで整数係数多項式なので\displaystyle f( n) \mid f( n+f( n))です \\あとは\displaystyle f( n+1) \mid f( n+f( n))を示せばいいです \\ f( n+f( n)) =f( f( n+1) -( n+a+1)) \equiv f( -( n+a+1)) \equiv 0( modf( n+1)) \\ f( n)について平方完成をすると軸は \frac{-a}{2}とわかります \\ここで、\displaystyle \frac{-( n+a+1) +( n+1)}{2} =\frac{-a}{2}より\displaystyle f( n+1) =f( -( n+a+1))となります \\よって、f( n) =n^{2} +an+bとしたとき \\ f( n) f( n+1) =f\left( n^{2} +( a+1) n+b\right)が成り立ちます \end{array}

演習問題(?)

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} 自然数\displaystyle aに対して\displaystyle p( a)を a^{2} +1の最大の素因数とする \\ p( a) =p( b) =p( c)となる異なる自然数の組a,b,cが\\無限個存在することを示せ \end{array}$

解説を作るかは未定です