ここでは東大数理の修士課程の院試の2017B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
$p$を素数とし、$S$を濃度$p$の有限集合とする。ここで作用
$$
\begin{split}
\rho:G\times S&\to S\\
(g,x)&\mapsto gx
\end{split}
$$
が二重推移的、つまり任意の$x_1\neq x_2\in S$及び$y_1\neq y_2$について$gx_1=y_1$かつ$gx_2=y_2$であるような$g\in G$が存在するものとする。このとき以下の問いに答えなさい。
(1) $|G|$は$p(p-1)$の倍数であることを示しなさい。
(2) $|G|=p(p-1)$となるような$G$及び$S$の例を挙げなさい。
(3) $|G|=p(p-1)$となるような$G$は(2)で挙げたもので(同型を除いて)尽くされていることを示しなさい。