Hermite多項式, Laguerre多項式の乗法公式

Hermite多項式を以下のように定義する.
$\begin{array}{r} H_{n} (x) := n! \sum_{0 \leq k} \frac{(- 1)^{k}}{k! (n - 2 k)!} (2 x)^{n - 2 k} \end{array}$

Hermite多項式の乗法公式

$\begin{aligned} H_{n} (λ x) & = n! \sum_{0 \leq k} \frac{(λ^{2} - 1)^{k} λ^{n - 2 k}}{k! (n - 2 k)!} H_{n - 2 k} (x) \end{aligned}$

母関数を考えると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{t^{n}}{n!} H_{n} (λ x) & = e^{2 λ t x - t^{2}} \\ = e^{2 λ t x - λ^{2} t^{2} + (λ^{2} - 1) t^{2}} \\ = \sum_{0 \leq n} \frac{(λ t)^{n}}{n!} H_{n} (x) \sum_{0 \leq m} \frac{(λ^{2} - 1)^{m}}{m!} t^{2 m} \end{aligned}$
であるから, 両辺の $t^{n}$ の係数を比較して定理を得る.

$\begin{array}{r} L_{n}^{(a)} (x) := \frac{(a + 1)_{n}}{n!} \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k}}{k! (a + 1)_{k}} x^{k} \end{array}$

Laguerre多項式の乗法公式

$\begin{aligned} L_{n}^{(a)} (λ x) & = (a + 1)_{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{λ^{k} (1 - λ)^{n - k}}{(a + 1)_{k} (n - k)!} L_{k}^{(a)} (x) \end{aligned}$

母関数を考えると,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{L_{n}^{(a)} (λ x)}{(a + 1)_{n}} t^{n} & = \sum_{0 \leq n} t^{n} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k! (a + 1)_{k} (n - k)!} (- λ x)^{k} \\ = e^{t} \sum_{0 \leq k} \frac{(- λ x t)^{k}}{k! (a + 1)_{k}} \\ = e^{(1 - λ) t} e^{λ t} \sum_{0 \leq k} \frac{(- x (λ t))^{k}}{k! (a + 1)_{k}} \\ = \sum_{0 \leq m} \frac{(1 - λ)^{m}}{m!} t^{m} \sum_{0 \leq n} \frac{L_{n}^{(a)} (x)}{(a + 1)_{n}} (λ t)^{n} \end{aligned}$
両辺の $t^{n}$ の係数を比較して定理を得る.