Hermite多項式, Laguerre多項式の乗法公式
Hermite多項式を以下のように定義する.
\begin{align}
H_n(x):=n!\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}
\end{align}
\begin{align} H_n(\lambda x)&=n!\sum_{0\leq k}\frac{(\lambda^2-1)^k\lambda^{n-2k}}{k!(n-2k)!}H_{n-2k}(x) \end{align}
母関数を考えると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{t^n}{n!}H_n(\lambda x)&=e^{2\lambda tx-t^2}\\
&=e^{2\lambda tx-\lambda^2t^2+(\lambda^2-1)t^2}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(\lambda t)^n}{n!}H_n(x)\sum_{0\leq m}\frac{(\lambda^2-1)^m}{m!}t^{2m}
\end{align}
であるから, 両辺の$t^n$の係数を比較して定理を得る.
\begin{align} L_n^{(a)}(x):=\frac{(a+1)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n)_k}{k!(a+1)_k}x^k \end{align}
\begin{align} L_n^{(a)}(\lambda x)&=(a+1)_n\sum_{k=0}^n\frac{\lambda^k(1-\lambda)^{n-k}}{(a+1)_k(n-k)!}L_k^{(a)}(x) \end{align}
母関数を考えると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{L_n^{(a)}(\lambda x)}{(a+1)_n}t^n&=\sum_{0\leq n}t^n\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!(a+1)_k(n-k)!}(-\lambda x)^k\\
&=e^t\sum_{0\leq k}\frac{(-\lambda xt)^k}{k!(a+1)_k}\\
&=e^{(1-\lambda)t}e^{\lambda t}\sum_{0\leq k}\frac{(-x(\lambda t))^k}{k!(a+1)_k}\\
&=\sum_{0\leq m}\frac{(1-\lambda)^m}{m!}t^m\sum_{0\leq n}\frac{L_n^{(a)}(x)}{(a+1)_n}(\lambda t)^n
\end{align}
両辺の$t^n$の係数を比較して定理を得る.
このような乗法公式がどこまで一般化されるのかを考えてみるのも面白そうだ.
