積分解説01

2020/06/25に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1268788501606133760?s=21

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty \frac{\sin x}{\sinh x}dx\\ &=&2\int_0^\infty \frac{\sin x}{e^x-e^{-x}}dx\\ &=&2\int_0^\infty e^{-x}\sin x\sum_{k=0}^\infty e^{-2kx}dx\\ &=&2\sum_{k=0}^\infty \int_0^\infty e^{-(2k+1)x}\sin xdx\\ &=&2\sum_{k=0}^\infty \mathcal{L}[\sin x](2k+1)\\ &=&2\left. \sum_{k=0}^\infty \frac1{s^2+1}\right|_{s=2k+1}\\ &=&\frac12\sum_{k=0}^\infty \frac1{(k+\frac12)^2+\frac14}\\ &=&\frac{\pi\tan\frac\pi2i}{2i}\\ &=&\frac\pi2\tanh\frac\pi2 \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac\pi2\tanh\frac\pi2$となります。