2020/06/25に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1268788501606133760?s=21
$$\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{\sinh x}dx$$
[解説]
$
\begin{eqnarray*}
&&\int_0^\infty \frac{\sin x}{\sinh x}dx\\
&=&2\int_0^\infty \frac{\sin x}{e^x-e^{-x}}dx\\
&=&2\int_0^\infty e^{-x}\sin x\sum_{k=0}^\infty e^{-2kx}dx\\
&=&2\sum_{k=0}^\infty \int_0^\infty e^{-(2k+1)x}\sin xdx\\
&=&2\sum_{k=0}^\infty \mathcal{L}[\sin x](2k+1)\\
&=&2\left. \sum_{k=0}^\infty \frac1{s^2+1}\right|_{s=2k+1}\\
&=&\frac12\sum_{k=0}^\infty \frac1{(k+\frac12)^2+\frac14}\\
&=&\frac{\pi\tan\frac\pi2i}{2i}\\
&=&\frac\pi2\tanh\frac\pi2
\end{eqnarray*}
$
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac\pi2\tanh\frac\pi2$となります。