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積分解説01

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

2020/06/25に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1268788501606133760?s=21

$$\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{\sinh x}dx$$

[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^\infty \frac{\sin x}{\sinh x}dx\\ &=&2\int_0^\infty \frac{\sin x}{e^x-e^{-x}}dx\\ &=&2\int_0^\infty e^{-x}\sin x\sum_{k=0}^\infty e^{-2kx}dx\\ &=&2\sum_{k=0}^\infty \int_0^\infty e^{-(2k+1)x}\sin xdx\\ &=&2\sum_{k=0}^\infty \mathcal{L}[\sin x](2k+1)\\ &=&2\left. \sum_{k=0}^\infty \frac1{s^2+1}\right|_{s=2k+1}\\ &=&\frac12\sum_{k=0}^\infty \frac1{(k+\frac12)^2+\frac14}\\ &=&\frac{\pi\tan\frac\pi2i}{2i}\\ &=&\frac\pi2\tanh\frac\pi2 \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac\pi2\tanh\frac\pi2$となります。

投稿日:2020116

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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