半環の分離性と準同型定理

$f(x)\ne g(x)$とすると, 交わらない$f(x)\in U$, $g(x)\in V$が存在する. すると$f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)$の任意の点$y$において$f(y)\ne g(y)$である. よって$\{x\mid f(x)\ne g(x)\}$は開だが, これが空でないとすると$A$と交わって矛盾. したがって$f$と$g$は$X$上で一致する.

$f(0)=0$より$0\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$. $a,b\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$なら$f(a+b)=0$より$a+b\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$. $a\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$, $b\in R$なら$f(ab)=0$より$ab\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$

$x\sim y$ならば任意の$z$について$x+z\sim y+z$, $xz\sim yz$であるため明らか.

$a,b$がある$u,v\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$によって$a+u=b+v$と出来たとする. このとき$f(a)=f(a)+f(u)=f(b)+f(v)=f(b)$なのでよい.

$a,b\in A$を$f(a)=f(b)$なるものとする. 今$c:R[x,y]\to A$を$x\mapsto a$, $y\mapsto b$なるものとすると$R[x,y]\to A\to B$と$R[x,y]\to R[x]\to B$は一致する. よって$s\in \mathrm{\Delta }$の$B$への像は$0$である. $f$の核が$(0)$なので$s$の$A$への像も$0$である. $R$の分離性より$R[x]\to A$が存在して$R[x,y]\to R[x]\to A$が$c$に一致する. これは$a=b$を意味する.

$R$を分離的な半環とする. 任意の$a\in R$について加法逆元が存在することを示す. $f:R[x]\to R$を$x\mapsto a$とするとこれは全射である. よって強全射である. $f(x)=f(a)$なのである$\varphi (x),\psi (x)\in \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(f)$があって$x+\varphi (x)=a+\psi (x)$である. $\varphi$の定数部分を$d$, $1$次以上の部分を${\varphi }^{\prime }$, $\psi$の定数部分を$e$とすると, $x=0$を代入することで$d=a+e$がわかる. また${\varphi }^{\prime }(a)+d=\varphi (a)=0$なので$a+(e+{\varphi }^{\prime }(a))=0$であり, $a$は加法逆元を持つ.