完全微分方程式の求積法

微分方程式$$Q(x,t)\dfrac{dx}{dt}=P(x,t)$$が
$$\dfrac{\partial Q(x,t)}{\partial t}-\dfrac{\partial P(x,t)}{\partial x}=0$$を満たすとき完全微分方程式という．

完全微分方程式の求積法

微分方程式$$Q(x,t)\dfrac{dx}{dt}=P(x,t)$$を考える．完全微分方程式なら$$\dfrac{\partial Q(x,t)}{\partial t}=\dfrac{\partial P(x,t)}{\partial x}$$を満たすから
$$\dfrac{\partial \Phi(x,t)}{\partial t}=P(x,t)$$$$\dfrac{\partial \Phi(x,t)}{\partial x}=Q(x,t)$$をみたす$\Phi(x,t)$がある．よって$$\Phi(x,t)=C$$と陰函数表示の形で解が求められる．

$$(x^3+t)x'=\dfrac{3}{2}t^2+x$$$$\int(x+t)dx=xt+\dfrac{x^2}{2}+C_1=\Phi(x,t)$$$$\int(\dfrac{3}{2}t^2+x)dt=\dfrac{t^3}{2}+xt+C_2=\Phi(x,t)$$よって，$$C_1=\dfrac{t^3}{2}+C,C_2=\dfrac{x^2}{2}+C$$として，$$\Phi(x,t)=xt+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{t^3}{2}+C=0$$が解の陰函数表示を与える．

投稿日：2020年11月23日

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